Формулы произведения функций
1).Вычислите:
2
2).Вычислите:
sin10sin20...sin80.
[
]
3).Вычислите: tg5tg20 + tg20tg65 + tg65tg5
Формулы cуммы и разности одноименных тригонометрических функций.
Примеры:
1).sin54
– sin18
= 2sin18cos36
=
= 0,5
2). -
3).cos
+ cos
= 2 cos
cos
= 2 cos
cos
= 2 cos
cos
4) ctg70
+ 4cos70
=
.
Формулы понижения степени и половинного аргумента. |
Примеры:
1) Вычислите: sin15;
cos15;
tg15
[
;
;
].
Понятно, что вычислив значения тригонометрических функций для угла 15, мы знаем и значения тригонометрических функций угла 75, и, вообще, достаточно вычислять эти значения для углов от 0 до 45.
Для каких еще углов можно аналогичным образом вычислить значения тригонометрических функций? [22,5; 37,5; 7,5 и т. д.]
2) tg
=
;
Найти: sin2
(Ответ:
);
3).
= 0,6; 0<
<
.
Вычислить
;
;
4). Докажите, что в треугольнике АВС один из углов равен 60 т. и т. т., когда sin3A + sin3B + sin3C = 0.
Формулы приведения.
1) Сравните и обоснуйте:
а)
и
[>; II четверть];
б)
и cos(–0,5) [>; четность;
I четверть];
в) tg1,2 и tg1,4 [<; показать ось тангенсов]; г) ctg2 и ctg10 [>; показать ось котангенсов].
а) sin(1080 – );
б) cos(– – 20);
в) tg(–1800 + );
г) ctg(14 – )
ответ: [а) –sin; б) cos; в) tg; г) –ctg]
Помимо свойств четности или нечетности и свойства периодичности тригонометрических функций, существуют правила, позволяющие упрощать аналогичные тригонометрические выражения. Эти правила применяются, когда под знаком тригонометрической функции находятся слагаемые, не кратные 360 или 2, но кратные 90 или 0,5. Вывод этих правил, которые называются формулами приведения, использует симметрию на координатной плоскости.
1) Рассмотрим точки Р
и Р + .
Они симметричны относительно О(0; 0):
ZO(Р)
= Р + .
Следовательно, x
+ = –x;
y
+ = –y,
то есть, cos(
+ ) = –cos;
sin(
+ ) = –sin;
tg(
+ ) =
= tg;
ctg(
+ ) =
=
ctg.
2) Рассмотрим точки Р
и Р – .
Они симметричны относительно оси y:
S(OY)
(Р) = Р
– .
Следовательно, x
– = –x;
y
– = y,
то есть, cos(
– ) = –cos;
sin(
– ) = sin;
tg(
– ) =
= –tg;
ctg(
– ) =
=
–ctg.
3) Рассмотрим точки Р
и Р0,5
+ . Какова
особенность их взаимного расположения?
[
]
Следовательно, x0,5
+ = –y;
y0,5
+ = x,
то есть, cos(0,5
+ ) = –sin;
sin(0,5
+ ) = cos;
tg(0,5
+ ) =
= ctg;
ctg(0,5
+ ) =
=
–tg.
4) Как получить аналогичные формулы для угла 0,5 – ?
[Симметрия относительно прямой y = x или алгебраически]
cos(0,5
– )
= cos(0,5
+ (–))
= –sin(–)
= sin;
sin(0,5
– )=
sin(0,5
+ (–))
= cos(–)
= cos;
tg(0,5
– )
=
= ctg;
ctg(0,5
– )
=
=
tg.
5) Как получить аналогичные формулы для углов 1,5 ? Проще – алгебраически.
cos(1,5
)
= cos(
+ (0,5
))
= –cos(0,5
)
= sin;
sin(1,5
)=
sin( +
(0,5
)) =
–sin(0,5
)
= –cos;
tg(1,5
)
=
= ctg;
ctg(1,5
)
=
=
tg.
Некоторые формулы приведения:
|
+ |
π + |
|
- |
π - |
-
|
2π - |
|
|
- |
- |
|
|
- |
- |
|
- |
- |
|
|
- |
- |
|
|
- |
|
- |
|
- |
|
- |
|
- |
|
- |
|
- |
|
- |
+
Самое замечательное, что сами формулы запоминать не надо, достаточно запомнить «мнемоническое правило».
Знак результата совпадает со знаком данной функции;
Если есть или , то название функции меняется на кофункцию;
Если есть π или 2π, то название функции не меняется;
Упражнения.
1) Упростите выражения:
а) sin(117 – );
б) cos(– 221,5–);
в) tg(
+ );
г) ctg2( – 1890) ответ:[а) sin; б) –sin; в) –ctg; г) tg2]
2) Вычислите значение тригонометрических функций угла 330.
[cos330
=
;
sin330
= –0,5; tg330
=
;
ctg330
=
]
3) Приведите к значению
тригонометрической функции угла,
лежащего в промежутке от 0 до 45
(
):
а) sin(–3725);
б)
[а) –cos39;
б) –ctg
]
4) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до 45
а) cos(–2281); б) ctg27,7.
5) Определите знаки чисел
и попарно сравните: а)
и
;
б) cos(–2) и cos(–3);
в)
и
.
6) Верны ли равенства (обоснуйте): а) sin( + ) = sin + sin; б) cos( – ) = cos – cos? [Нет; примеры!]
7) Сравните: sin(cos1) и cos(sin1).
8) Вычислите:
[–1];
9) Приведите к значению тригонометрической функции угла, лежащего в промежутке от 0 до : а) cos10; б) ctg11. [а) –cos(10 – 3); б) –tg(11 – 3,5)];
10) Найдите значение выражения: sinsin...sinsin [0, так как sin = 0].
11) Упростите: а) sin8; б) tg(–7).
12)
·
)