Вопрос 1. Как звучит это свойство применительно к точке на числовой окружности?

Вопрос 2. Чем являются координаты точки на числовой окружности?

Вопрос 3. Как записать правило «полного оборота» для каждой координаты?

sin x = sin(x + 2k) и cos x = cos(x + 2k).

Четность и нечетность.

Еще проще с таким важным свойством функций как четность или нечетность.

Оказывается, все изучаемые нами тригонометрические функции – нечетные, лишь косинус – четная функция.

Рассмотрим на тригонометрической окружности точки с координатами t и (–t). У этих точек равные по модулю, но противоположные по знаку ординаты, это означает, что sin(–t) = –sin t. У таких точек одна и та же абсцисса, а это значит, что cos(–t) = cos t.

Аналогично рассматриваются функции тангенс и котангенс.

Кроме того, доказать нечетность тангенса и котангенса можно используя свойства синуса и косинуса следующим образом: = = = - = - .

Значения тригонометрических функций.

Функция	Значения
	00	300	450	600	900
cosx	1				0
sinx	0				1
tgx	0		1		-
ctgx	-		1		0

Основные тригонометрические формулы.

Основные тригонометрические тождества.

Выпишем тождества, связывающие тригонометрические функции одного аргумента (на доске и в тетрадях). По рис. 1 объясните их вывод, и для каких углов они выполняются.

1) Так как R , то sin² + cos² = 1 – основное тригонометрическое тождество!

2) Так как tg = , где   0,5 + n, nZ, то для таких  sin = costg.

Рис. 1

3) Аналогично, так как ctg = , где   n, nZ, то для таких  cos = sinctg.

4) tgctg = 1, где   0,5n, nZ, так как синус и косинус не должны равняться нулю.

5) Разделим тождество 1) почленно на cos²: 1 + = , где   0,5 + n, nZ.

6) Аналогично, разделив на sin², получим 1 + = , что,   n, nZ.

Примеры:

Упростить: +

Вычислить: , , сtg , если tg = 2; 0 < < ;

_{Докажите:} (2 tg + 1)( tg + 2)- 5 = 2

Формулы суммы аргументов:

Пример:

1. sin15 = sin(45 – 30) = sin45 cos30 - cos45sin30= - =

2. Вычислить cos 15; tg 15 ; ctg15;

3. Дано: sin  = 0,8, . Вычислите: а) cos ; б) .

4. Упростите: a) cos  - sin 

b) sin  + cos 

c) (sin  - cos )

d) - ( )

e) -

g) = ; = ; 0< < ; 0< < ; Вычислить

_{Формулы двойного аргумента}

Рассмотрим следствия формул сложения: формулы, которые позволяют выразить sin2, cos2 и tg2 через тригонометрические функции угла . Их называют формулами двойного аргумента.

1) sin2 = sin( + ) = sincos + cos sin = 2sincos.

2) cos2 = cos( + ) = coscos – sin sin = cos² – sin²= 2cos² – 1 = 1 – 2sin².

3) tg2 = ,   , где nZ;   , где kZ (показать на единичной окружности).

Аналогичную формулу можно получить и для сtg2, но запоминать ее не надо, так как без нее всегда можно обойтись [ctg2 = ,   , где nZ;   , где kZ (показать на единичной окружности)].

Примеры:

₁₎Докажите неравенство: sin 2 + cos 2 + 2(sin1 – cos1)> 1

_{Решение: Рассмотрим разность}

sin 2 + cos 2 + 2(sin1 – cos1)-1= 2 sin1 cos1+ - + 2 sin1 - 2 cos1- - = 2 sin1(cos1 -

= 2 sin1(cos1 - sin1 )- 2(cos1 - sin1 )= 2(cos1- sin1 )( sin1 - 1)> 0, т.к. cos1 < sin1, а sin1 < 1.

Следовательно, левая часть данного неравенства больше правой, что и требовалось доказать.

2) sin120 = 2sin 60 cos60 = 2 =

3)Найти значение следующих тригонометрических выражений: ; ; , если = ; 0< <π.

Решение. Выпишем формулы = 2

= -

=

Из основного тригонометрического тождества найдем = = 1 - =

Так как принадлежит 1 или 2 четверти, то =

Тогда = - = -

= 2· ·( ) =

= =

4) Вычислить cos 120 ; tg 120 ; ctg120;

5) Дано: cos = - , π. Вычислите: а) sin ; б) sin 2.

6) Найдите sin 2 , если cos  = ; sin  > 0