Тема 1.3. Преобразование алгебраических выражений
Самостоятельная работа№3-4 (2 часа)
Цель: научиться применять простейшие формулы и правила алгебраических преобразований.
Тождественные преобразования алгебраических выражений
Понятие алгебраического выражения. Тождество и тождественное преобразование.
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
Действия над степенями
Действия над степенями производятся по следующим правилам:
=
m-n
=
amn
m
=
m
=
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения:
а2 – b2 = (a-b)(a + b) –разность квадратов
(a+b)2 =a2 +2 ab + b2 –квадрат суммы
(a-b)2 =a2 -2 ab + b2- квадрат разности
a3 – b3 = (a-b)(a2 + ab + b2) – разность кубов
a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2) – сумма кубов
(a+b)3 =a3 +3a2 b +3a b2 +b3 – куб суммы
(a-b)3 =a3 -3a2 b +3a b2 -b3 – куб разности
ax2 + bx + с = 0 a(x – x1)(x – x2)
Квадратное
уравнение имеет вид
+ bx
+ с = 0, а ≠0
Дискриминант: D = - 4ac
Если D > 0, то кв. ур-е имеет два различных корня, которые могут быть вычислены по формулам:
X1,2 =
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два равных корня.
Если D < 0, то действительных корней нет.
Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении x2 + px + q - 0 сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение – свободному члену:
x1 + x2 = - p ; x1 x2 = q
Действия с дробями:
Сложение |
Вычитание |
Умножение |
Деление |
+
|
-
=
|
·
=
|
:
=
|
=
Свойства
пропорции:
=
ad
= bc
При работе с модулями используют различные свойства модулей:
≥ 0;
=
;
=
;
2
= a2;
=
Свойства числовых неравенств:
a≥b
b≤a;
a≥b и b≥c a≥c;
Пусть
с
0
тогда a≥b
aс≥bс
Пусть с 0 тогда a≥b aс≤bс
Пусть a≥b тогда a+с ≥b+с
Пусть a≥b тогда a-с ≥b-с
Примеры решения задач.
1.
Упростить выражение: S
=
при x
=
,
где a≠b,
ab
0
Решение. Покажем прежде, что при заданном условии все подкоренные выражения положительны:
X
– 1 =
-1 =
=
Поскольку
a
- b≠0
, то
;
ab
0
по условию.
Следовательно, дробь положительна, т.е. x - 1 ; , а значит и x + 1 ; .
Теперь перейдем к упрощению заданного выражения. Освободимся от иррациональности в знаменателе:
S
=
=
=
= x +
Подставляя
значение x
=
=
, получим S
=
+
=
+
=
+
По
условию ab
0
, значит,
= ab,
поэтому S
=
Рассмотрим оба возможных случая:
1)
если
, т.е. если
, то
=
и S
=
2)
если
, т.е. если
, то
=
и S
=
2.
Сократить дробь:
.
Решение.
Разложим числитель и знаменатель на
множители. Корни числителя: x1
=1; x2=
4 , поэтому
имеем:
= (x
–x1)(x
–x2)
=(x
–1)(x
–4) .
Чтобы разложить знаменатель на множители, применим метод группировки:
= (x3
-x)-
(4x2
-4) = x(
)-
4(
)
= (
)(x
-4) = (x
-1)(x
+1)(x
-4)
Тогда
при x≠1;
x≠-1;
x≠4
будем иметь:
=
=
3.
Пользуясь теоремой Виета, вычислить:
+
, где x1 и
x2
- корни уравнения 2x2
+6x
+1 = 0
.
Решение.
Преобразуем исходное выражение в дробь
+
=
Числитель
данного выражения может быть разложен,
как сумма кубов двух выражений:
= (
)(
).
Проведем тождественные преобразования:
(
)(
)=
(
)(
- 3
)
= (
)(
)2
- 3
)
Воспользуемся теоремой Виета. Для начала убедимся, что дискриминант квадратного трехчлена 2x2 +6x +1 больше нуля.
Действительно: В = 62 -4·2·1 = 28 . Следовательно, у уравнения 2x2 +6x +1 = 0 имеются два действительных корня, и теорема Виета может быть применена.
Таким образом, = -3 и =
Поэтому,
имеем:
+
=
=
= -45
Решить самостоятельно.
1.Упростите
выражение:
:
2.Найти
значение выражения
при x=31, y=21.
3.
Упростите выражение:
:
и вычислите его значение при m =-3 и n=7.
4. Найти значение выражения при x=31, y=21.
5. Докажите тождество - + = 1
6. Зная, что = 10, найдите значение дроби: а) ; б) ; в) ;
7. При каком значении переменной b выражение 3 + тождественно равно дроби ?
Вопросы для самоконтроля.
1.Формулы сокращённого умножения.
2.Правила действий со степенями.
3.Формулы корней сокращённого умножения.
4.Свойства числовых неравенств.
5.Понятие модуля.
6.Свойства пропорции.
Самостоятельная работа№5-6