Самостоятельная работа №1.

Раздел 1. Введение.

Тема 1.1 Действия с числами. Самостоятельная работа №1.(2 часа)

• повторить вычисления НОК и НОД;

• правила сложения, вычитания обыкновенных дробей;

• правила действий с десятичными дробями.

Чтобы сократить записи придумали обозначения НОД и НОК, что означает наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Каждое число является делителем других чисел, которые называются кратными этому числу. К(22) = {22;44;66;88;110;…}

Изобразим множества делителей чисел 18, 24

Д(18) Д(24)={2; 3; 6} ;Наибольший из общих делителей – 6, НОД(18; 24)=6

Изобразим множества кратных числам 18 и 24

К(18) К(24)={72; 144; …} – общие кратные 18 и 24

Наименьшее из общих кратных – 72. НОК(18; 24)= 72

Как находить НОД и НОК?

Для чисел 18 и 24 это просто:

- чтобы найти НОД перебираем общие делители 2; 3, пока не находим наибольший -6.

- чтобы найти НОК умножаем 18 на 2, на 3 и так далее, пока не найдем число, которое делится на 24 – это 72

Если же числа большие, то их раскладывают на простые множители

600	300	150	75	25	5	1
2	2	2	3	5	5

600 = 2³ ·3 ·5²

108	54	27	9	3	1
2	2	3	3	3

108 = 2² ·3²

НОД должен содержать все общие множители в наименьшей степени (подчеркнуты):

НОД (600; 108)= 2² ·3 = 12

НОК должен содержать все множители в наибольшей степени (жирный шрифт):

НОК(600;108) == 2³ ·3³ ·5² = 5400

НОД (27;14)=1, так как у них нет общих делителей, кроме 1. 27=3³, а 14 = 2·7

Такие числа называют взаимно простыми.

  НОК(27;14)= 27·14  по той же самой причине, у них нет общих делителей.

Удобно использовать методы нахождения НОК при сложении дробей.

Наименьший общий знаменатель – это и есть НОК знаменателей..

              

НОД(408;90) 1                        НОК (408; 90) =2040

12 - 56 = - 44 + = - 44 - = -44

              

НОД (92; 51)=1– взаимно простые                        НОК(92;51)=92·51= 4692

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же. С помощью букв правило сложения можно записать так:

+ =

Буханку хлеба разрезали на 8 равных частей (долей). На тарелку положили 7 долей, а потом 4 доли съели. Осталось 3 доли, то есть

буханки:

- =

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют тот же. С помощью букв правило вычитания можно записать так:

- =

Ключевые слова: дробь, числитель, знаменатель, смешанное число, приведение к общему знаменателю, сложение, вычитание, умножение и деление дробей, правильная и неправильная дробь

Определение: Выражение вида или a : b, где а и b целые числа, b≠0, называется дробью

Число a называется числителем дроби. Число b называется знаменателем дроби

Если a < b, то выражение правильная дробь

Если a > b , то выражение неправильная дробь. Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть и дробную часть. Примеры : = 2

Основное свойство дроби: Две дроби и называются равными если a·d=b·c.

Действия над дробями ( и ):

Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число..

Если знаменатели разные, то дроби нужно привести к общему знаменателю. Для этого

• Каждый знаменатель разложить на множители

• Выписать множители первого знаменателя

• Добавить недостающие множители других знаменателей.

Общим знаменателем будет НОК (b, d)

Aлгоритм выполнения действий сложения и вычитания.

Знаменатели дробей разложить на множители.

Найти наименьший общий знаменатель для дробей.

Привести все дроби к найденному знаменателю. Для этого находим дополнительные множители.

Сложить или вычесть дроби по правилу сложения или вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример:

1.  Вычислить: – 3,25 : + 6,75 ·

Решение. Указанные действия надо выполнить, не пользуясь микрокалькулятором, не делая округлений и приближенных вычислений, так как предполагается, что все заданные числа являются точными.

         Будем выполнять вычисления по действиям:

1. – 3,25 : = – 3 : = : = =

2. - 2 - 1,65 = - - = - - = = = =

3. 6,75 ·( ) = · == = - 21,9

4. - 21,9 =0,625 – 21,9 = - 20, 275

Таким образом, – 3,25 : + 6,75 · =- 20, 275

2. +

= ; = Наименьший общий знаменатель a( )( ) = = ; = = + = = Решить самостоятельно следующие примеры:

1.Привести к общему знаменателю: a) + b) - c) + d) + e) -

 2. Докажите тождество . - + = 1 3. Зная, что = 10, найдите значение дроби: а) ;     б)  ;    в) ;

4. При каком значении переменной b выражение 3 +  тождественно равно дроби ? 5. Вычислить: - 3 (-2 5,5 + 4,3 3,7) - 2

(2,8:(2 · (8,75-2 ))) · 7,25 - 3 : ((1,2 + 5 ) · 3,75)

3 :((1 +2,5) · 3,2)+(4,25 : (4 · (5,25 - 1 ))) · 2