Формальное описание коммутационных схем

Речь идет об описании принципиальных электрических схем. В литературе по САПР принципиальные электрические схемы называют коммутационными. Связи в схеме соответствуют передаче электрических сигналов.

П ринципиальную электрическую схему рассматриваем, как состоящую из множества элементов , соединенных между собой электрическими цепями из множества , назовем такое представление коммутационной схемой.

Каждый i – тый элемент имеет множество выводов . Внешние выводы схемы, служащие для связи с другими схемами (например, через электросоединитель), удобно представить фиктивным элементом .

Назовем комплексом совокупность эквипотенциальных выводов схемы, а число выводов в комплексе размером комплекса (или размером цепи) .

Введем понятие элементного комплекса , как подмножество элементов из , соединенных цепью . Элементные комплексы могут содержать общие элементы, то есть . Число элементов в комплексе назовем размером элементного комплекса . Наиболее удобно схемы представлять в виде графов. Это позволяет для оптимизационных задач конструирования найти адекватные задачи в теории графов.

http://www.urtt.ru/bib/dataindex/dm/glava_4~.htm#Тема_4.1._Основные_понятия_теории_графов_

№ 2. Граф коммутационной схемы

Наиболее общим является граф коммутационной схемы (ГКС). Он несколько отличается от обычного линейного графа. Он содержит три типа вершин соответствующих:

• E – элементам;

• C – выводам элементов;

• V – цепям (комплексам).

Рёбра делятся на:

• элементные F;

• с игнальные W.

G = (E,V,C,F,W)

Элементные рёбра определяют принадлежность выводов элементам, а сигнальные определяют вхождение выводов в цепи.

Т.к. ГКС содержит вершины и рёбра разных типов, его удобно описать двумя матрицами A и B.

, A = a_ij где м - число цепей, к – число выводов в схеме

Элемент матрицы aij=

если сi принадлежит vj в противном случае

A=			c01	c02	c03	c04	c11	c12	c13	c21	c22	c23	c31	c32	c33	c41	c42
	v1		1				1
	v2			1				1						1
	v3								1	1			1
	v4										1				1	1
	v5				1							1
	v6					1											1

Матрица выделяет подмножества выводов, принадлежащих элементам.

Элемент матрицы bij

, если элемент еi связан с выводом сj в противном случае.

B=			c01	c02	c03	c04	c11	c12	c13	c21	c22	c23	c31	c32	c33	c41	c42
	e0		1	1	1	1
	e1						1	1	1
	e2									1	1	1
	e3												1	1	1
	e4															1	1

В каждом столбце матрицы В одна единица, т.к. вывод может принадлежать только одному элементу. Число единиц в строке – число выводов элемента.

Структуру ГКС можно задать одной матрицей , строки которой соответствуют элементам, а столбцы выводам элемента, причём

к₁ = max k_i , .

Элемент матрицы представляет номер цепи, связанной с выводом c_j элемента e_i. Т.е. t₂₃ – номер цепи, связанной с выводом c₃ элемента e₁. Для нашей схемы:

T=			c1	c2	c3	c4
	e0		1	2	5	6
	e1		1	2	3	-
	e2		3	4	5	-
	e3		3	2	4	-
	e4		4	6	-	-

Матрица T называется матрицей цепей. Для построения матрицы цепей необходимо каждой цепи присвоить номер.

Существуют упрощенные модели схем. Так, при компоновке элементов в конструктивные узлы можно не рассматривать выводы элементов, а рассматривать только сами элементы. Тогда элементные рёбра можно устранить, т.е. вершины - как бы «стянуть» в элементы (убираем выводы элементов, а цепи обозначаем точками). Тогда можно построить граф элементных комплексов (ГЭК) . Здесь множества вершин соответствуют:

• Е – элементам;

• V – элементным комплексам;

• W – сигнальные рёбра.

Г ЭК для схемы рис. 12 имеет вид:

Описать множества цепей (комплексов)

V₁=e₀, e₁; V₂= e₀, e₁, e₃; V₃= e₁, e₂, e₃; V₄= e₂, e₃, e₄; V₅=e₀, e₂; V₆=e₀, e₄

Для описания ГЭК удобно воспользоваться матрицей , строки которой соответствуют элементам, а столбцы элементным комплексам,

, если элемент еi связан с цепью vj1 в противном случае.

В нашем случае:

Q=			V11	V21	V31	V41	V51	V61
	e0		1	1			1	1
	e1		1	1	1
	e2				1	1	1
	e3			1	1	1
	e4					1

Коммутационную схему можно также упрощенно описать с помощью гиперграфов.

Гипергра́ф — обобщённый вид графа, в котором каждым ребром могут соединяться не только две вершины, но и любые подмножества вершин.

С математической точки зрения, гиперграф представляет собой пару , где — непустое множество объектов некоторой природы, называемых вершинами гиперграфа, а — семейство непустых (необязательно различных) подмножеств множества , называемых рёбрами гиперграфа.

Г иперграфы применяются, в частности, при моделировании электрических схем.

Пример гиперграфа:

.

Граф H = (E,V) называется гиперграфом, если он состоит из множества вершин Е = {е₁, е₂, …, е_n} и множества рёбер V = {v_1, v_2, …,v_m} . Причём каждое ребро представляет собой некоторое подмножество множества вершин, т.е. ,

В гиперграфе H = (E,V) две вершины считаются смежными, если существует ребро V ,содержащее эти вершины. Два ребра смежные, если их пересечение – непустое множество.

H = (E, V)

E  = 7, V = 4

V₁ = {e₁, e₂, e₃, e₄}

V₂ = {e₂, e₃, e₆, e₇}

V₃ = {e₄, e₅}

V₄ = {e₅, e₇}

Здесь, например, вершины e₁ и e₂ смежные, т.к. они связаны с ребромV₁. v₁,v₂ – смежные рёбра, т.к. их пересечение даёт множество {e₂, e₃}.

Гиперграф может быть описан матрицей инцидентности

aij	1, если ei є Vj , 0, если ei є Vj .

Для примера c рис.14:

I(H)=			V1	V2	V3	V4
	e1		1	0	0	0		V1 = {e1, e2, e3, e4} V2 = {e2, e3, e6, e7} V3 = {e4, e5} V4 = {e5, e7}
	e2		1	1	0	0
	e3		1	1	0	0
	e4		1	0	1	0
	e5		0	0	1	1
	e6		0	1	0	0
	e7		0	1	0	1

П редставим теперь коммутационную схему в виде гиперграфа. В такой модели каждому ребру гиперграфа H взаимно - однозначно соответствует определённая цепь. Каждое ребро гиперграфа представляется в виде замкнутой кривой, охватывающей инцидентные ребру вершины. Если ребро инцидентно только двум вершинам, то их обычно соединяют отрезком. Тогда для схемы (рис.12) гиперграф имеет вид (рис.15):

V₁=e₀, e₁; V₂= e₀, e₁, e₃; V₃= e₁, e₂, e₃; V₄= e₂, e₃, e₄; V₅=e₀, e₂; V₆=e₀, e₄

Такое представление имеет то преимущество, что есть возможность задания изменяющейся информации о цепях, которые могут быть представлены любым из n^n-2 покрывающих деревьев.

Рассмотрим ещё одну модель.

Л юбому гиперграфу H может соответствовать так называемый граф Кенига G = {E V, U}. Это двудольный граф, состоящий из двух подмножеств вершин E и V, где E – множество вершин гиперграфа, а V – множество его рёбер. Подмножества E и V являются подмножествами несмежных вершин, т.е. между их элементами нет связей (рёбер). Вершины же e_i є E и V_j є V смежные только тогда, когда в гиперграфе вершина e_i принадлежит ребру V_j. Для нашей схемы двудольный граф имеет вид (рис.16):

e₀V₁, V₂, V₅, V₆;

e₁V₁, V₂, V₃;

e₂V₃, V₄, V₅, V₆;

e₃V₂, V₃, V₄, V₆;

e₄ V₄, V₆;

Чаще других используется более простое представление электрической схемы, когда элементам схемы соответствуют вершины графа e є E , а электрические цепи представляются рёбрами u є U. Пусть схема имеет вид (рис.17):

U ₁={e₁,e₂,e₃ e₅]

U₂={e₂,e₄]

U₃={e₃,e₄}

U₄={e₄,e⁵}

U₅={e₁,e₂}

U₆={e₂,e₅}

U₇={e₅,e₂}

В таком графе каждый узел, т.е. сложная цепь, соединяющая три и более элемента, представляется полным графом с числом рёбер ρ(ρ-1)/2,

г де - число элементов цепи (рис.18):

Т.е. каждый элементный комплекс в ГЭК представляется полным графом.

Д алее перейдём от полученного мультиграфа к взвешенному графу, приписав каждому ему ребру u_ij “вес” z_ij, равный числу элементарных соединений между вершинами e_i и e_j . Получим взвешенный граф схемы (ВГС) (рис.19):

Взвешенный граф схемы может теперь быть описан с помощью матрицы смежности R = r_ij n*n

В нашем случае:

R=			e1	e2	e3	e4	e5
	e1		0	2	1	0	1
	e2		2	0	1	1	3
	e3		1	1	0	1	1
	e4		0	1	1	0	1
	e5		1	3	1	1	0

Объяснить, как получилось.

Представление сложных цепей полным графом вносит избыточность информации, т.к. в действительности элементы соединяются в виде дерева.

М одификацией мультиграфовой модели и ВГС является модель, представляемая графом, в котором полные подграфы, моделирующие цепи

u  U,

заменяются покрывающими их деревьями. Такая модель проще, но сложностью является выбор одного из n^n-2 покрывающих деревьев, для каждого полного графа. Например, для цепи U₁ можно выбрать такое дерево (рис. 20):

Видоизменением последнего графа может быть такой граф, в котором все покрывающие деревья являются звёздными подграфами с центральной вершиной e_i . Тогда для нашего примера звёздный подграф имеет вид (рис. 21):

В ряде алгоритмов размещения и компоновки также используются весовые оценки, учитывающие приоритеты цепей и вероятности реализации отдельных соединений. Например:

где

ωs - коэффициент, отражающий особенности s-ой цепи (0 < ω_s ≤ 1),

fs – коэффициент учёта размера цепи, например: fs=2/ ρs, т.е. определяет вероятность построения элементарного соединения между парой выводов цепи при условии равновероятного выбора любого из d = nn-2 деревьев (при ρs = 2, т.е. вероятность = 1). Для описания схемы в виде ВГС вводят понятие связности: