Описание графов.
Матрица смежности.
Графу G(X,E),
имеющему n
вершин, можно поставить в соответствие
квадратную матрицу
,
общий элемент которой соответствует
числу ребер, соединяющих вершину
с вершиной
.
Это матрица смежности, так как она задает
в числовом виде связь смежных вершин
где n
– число вершин;
–
число ребер между
и
,
–
определяет число петель
.
Для графа, представленного на рис. 10, матрица смежности записывается в виде
П
ример:
(рис.10)
Матрица смежности обладает следующими свойствами:
симметрична относительно диагонали;
сумма элементов в строке или столбце равна степени вершины.
В конечном графе можно выделить только конечное число маршрутов. Длина маршрута - число ребер в маршруте. Существует простой способ определения маршрутов длины q по матрице R графа G путем возведения ее в q – ю степень.
П
ример:
Пусть задан граф G
вида
с матрицей смежности R
-
1
2
3
4
1
0
1
1
0
R=
2
1
0
0
1
3
1
0
0
1
4
0
1
1
0
Возведем матрицу R во вторую степень. Возведение матрицы в степень производится путем поэлементного перемножения строки на столбец с суммированием полученных сомножителей. Результат возведения в степень следующий:
-
1
2
3
4
1
2
0
0
2
R2=
2
0
2
2
0
3
0
2
2
0
4
2
0
0
2
Каждый элемент
матрицы
равен числу
маршрутов длины 2, ведущих из вершин
в
.
Например
,
означает, что в графе два маршрута длины
2 – это
;
.
Матрица инцидентности. Если строки матрицы соответствуют вершинам, столбцы ребрам, то получим матрицу инциденций.
Элемент
матрицы
|
, если i вершина инцидентна j-му ребру uj; , если i вершина не инцидентна j-му ребру uj; |
тогда
где n
– число вершин
(n
= card
X)
m
– число ребер
(m
= card
U)
Для графа G (рис. 10)
-
U1
U2
U3
U4
U5
U6
U7
x1
1
0
0
1
0
0
0
S =
x2
1
1
1
0
0
0
1
x3
0
0
0
0
0
1
0
x4
0
1
0
0
1
1
1
x5
0
0
1
1
1
0
0
В общем случае S не квадратная матрица. Матрицы R и S однозначно задают информацию о графе. В каждом столбце матрицы S имеется две единицы, так как каждое ребро соединяет 2 вершины.