Цепи и циклы в графах

Двигаясь по ребрам, можно переходить из вершины в вершину. Любая последовательность ребер, получаемая при этом, называется маршрутом, то есть последовательность , в которой любые два соседних ребра смежные – маршрут.

Если все ребра в маршруте различны, то такой маршрут называют цепью, а если различны и вершины в цепи, то это простая цепь.

Цепь, в которой совпадает начальная и конечная вершины называется циклом.

П ример:

Связный граф без циклов называется деревом. В дереве любые две вершины связаны единственной цепью. Дерево, построенное на n вершинах, имеет n-1 ребер. Совокупность деревьев называют лесом.

В графах выделяют два замечательных цикла: эйлеров и гамильтонов.

Если в конечном связном графе можно найти такой цикл, в котором каждое ребро участвует один раз, то он называется эйлеровым, а граф, содержащий такой цикл, называется эйлеровым.

Задача возникла из следующего примера. В XIII веке жители Кенигсберга прогуливаясь по мостам реки Прегель пытались решить задачу: можно ли обойти все мосты, проходя по каждому из них только один раз (рис.8.)

Граф называется эйлеровым, если для всякой вершины графа найдется маршрут начинающейся и заканчивающейся в этой вершине и проходящий через каждое ребро только один раз. Такой маршрут называется эйлеровым циклом.

З адача состоит в следующем: осуществить прогулку по городу таким образом, чтобы, пройдя ровно по одному разу по каждому мосту, вернуться в то же место, откуда начиналась прогулка. Решая эту задачу, Эйлер изобразил Кенигсберг в виде графа, отождествив его вершины с частями города, а ребра - с мостами, которыми связаны эти части.

Эйлеру удалось доказать, что искомого маршрута обхода города не существует.

Ответ может быть получен на основе следующей теоремы.

Теорема. Граф является Эйлеровым тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные.

Как следует из рисунка, у графа, моделирующего схему мостов, все вершины имеют нечетную степень. Следовательно эйлерова цикла не существует.

Пример графа, имеющего эйлеров цикл показан на рис.9а.

Цикл, проходящий через каждую вершину графа G по одному разу, называется гамильтоновым (при этом не все ребра могут участвовать). Для гамильтонова цикла не известен общий критерий существования. Известны частные примеры, например; если для любой пары вершин графа G , то имеется гамильтонов цикл. Отсюда следует результат Дирака: граф имеет гамильтонов цикл, если для каждой его вершины .

В полном графе с числом вершин всегда существует гамильтонов цикл, рис. 9 б. Один из них .

Граф называется гамильтоновым, если для каждой вершины графа найдется маршрут начинающейся и заканчивающей в этой вершине и проходящий через все вершины только один раз. Такой маршрут называется гамильтоновым циклом.

Гамильтоновы графы применяются для моделирования многих практических задач, например, служат моделью при составлении расписания движения поездов. Основой всех таких задач служит классическая задача коммивояжера: коммивояжер должен совершить поездку по городам и вернуться обратно, побывав в каждом городе ровно один раз, сведя при этом затраты на передвижения к минимуму.

Графическая модель задачи коммивояжера состоит из гамильтонова графа, вершины которого изображают города, а ребра - связывающие их дороги. Кроме того, каждое ребро оснащено весом, обозначающим транспортные затраты, необходимые для путешествия по соответствующей дороге, такие, как, например, расстояние между городами или время движения по дороге. Для решения задачи необходимо найти гамильтонов цикл минимального общего веса.