8. Многоугольник.

1. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника. (50)

2. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, площадь которого равна 33. Найдите его периметр. (22)

3. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь. (30)

4. Около окружности описан многоугольник, площадь которого равна 5. Его периметр равен 10. Найдите радиус этой окружности.(1)

5. Диагонали четырехугольника перпендикулярны и равны 4 и 6. Найдите площадь этого четырехугольника. (12)

6. Диагонали четырехугольника образуют угол 30° и равны 4 и 6. Найдите площадь этого четырехугольника. (6)

Тригонометрия. (задача №12 в демоверсии гиа-2013)

1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A= . Найдите cos A. (0,25)

2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A= . Найти cos B. (0,8)

3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A= . Найдите tg A. (1,6)

4. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A=2 . Найти cos A. (0,2)

5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A= . Найти sin A. (0,5)

6. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=10, sin A=0,9. Найти BC. (9)

7. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=16, cos A=0,25. Найти AC. (4)

8. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB=39, cos B= . Найти AC. (36)

9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB=16, sin A= . Найдите BH. (9)

10. В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A=0,5.Найдите CH. (12)

11. В треугольнике ABC AC=BC, AB=8,cos A=0,2. Найти AC. (20)

12. В треугольнике ABC AC=BC=30, tg A= . Найти AB. (18)

13. В треугольнике ABC AC=BC=14, AB=14. Найти cos A. (0,5)

14. В треугольнике ABC AC=BC=15, AB=6 . Найти sin A.(0,4)

15. В треугольнике ABC AC=BC=10, AB=16. Найти tg A. (0,75)

Основные понятия и утверждения геометрии. (задача №13 в демоверсии гиа-2013)

Для каждого из следующих утверждений укажите, верно оно или нет.

• Прямые

1. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. (нет)

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые перпендикулярны. (нет)

3. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. (нет)

4. Через любые две точки проходит не менее одной прямой. (да)

5. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние накрест лежащие углы равны. (да)

6. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны. (да)

7. Если расстояние от точки до прямой меньше 7, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 7. (нет)

8. Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны. (нет)

• Углы

1. Вертикальные углы равны. (да)

2. Сумма вертикальных углов равна 180°. (нет)

3. Сумма двух смежных углов 180°. (да)

4. Смежные углы равны. (нет)

5. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны. (нет)

6. Если вписанный угол равен 60°, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу окружности, равен 120°. (да)

7. Если вписанный угол равен 60°, то центральный угол, опирающийся на ту же дугу окружности, равен 30°. (нет)

8. Если угол равен 30°, то вертикальный ему угол равен 150°. (нет)

9. Если дуга окружности составляет 80°, то центральный угол, опирающийся на эту дугу, равен 40°. (нет)

• Треугольники

1. Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. (нет)

2. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. (да)

3. Если сторона и два угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (да)

4. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (нет)

5. Если три угла одного треугольника равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (да)

6. Если гипотенуза одного прямоугольного треугольника равна гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны. (нет)

7. Каждая сторона треугольника равна сумме двух других сторон. (нет)

8. Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон. (нет)

9. Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон. (нет)

10. Сумма углов треугольника равна 180°. (да)

11. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°. (да)

12. В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона. (нет)

13. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол. (да)

14. Любые два равносторонних треугольника равны. (да)

15. Любые два равнобедренных треугольника равны. (нет)

16. Любые два прямоугольных треугольника равны. (нет)

17. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними. (нет)

18. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними. (да)

19. Треугольник ABC, у которого AB=3, BC=4, AC=5, является тупоугольным. (нет)

20. Треугольник ABC, у которого AB=4, BC=5, AC=6, является прямоугольным. (нет)

21. Площадь треугольника равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. (нет)

22. Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту. (нет)

23. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению его катетов. (нет)

24. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. (да)

25. В прямоугольном треугольнике все углы прямые. (нет)

26. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 не существует. (да)

27. В тупоугольном треугольнике сумма углов больше 180°. (нет)

28. Любые два равнобедренных прямоугольных треугольника подобны. (да)

29. Стороны треугольника пропорциональны градусным величинам противолежащих углов. (нет)

30. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета. (да)

31. Площадь прямоугольного треугольника равна удвоенному произведению его катетов. (нет)

32. В Треугольнике ABC, для которого AB=4, BC=5, AC=6, угол A наибольший. (нет)

33. Внешний угол треугольника больше каждого не смежного с ним внутреннего угла. (да)

• Четырехугольники

1. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180°. (нет)

2. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°. (да)

3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°. (нет)

4. Сумма противоположных углов параллелограмма равна 180°. (нет)

5. Если в четырехугольнике две стороны параллельны, то этот четырехугольник- параллелограмм. (нет)

6. Если в четырехугольнике два угла – прямые, то этот четырехугольник – параллелограмм. (нет)

7. Если в четырехугольнике три угла – прямые, то этот четырехугольник – параллелограмм. (да)

8. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам. (нет)

9. Диагонали параллелограмма перпендикулярны. (нет)

10. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. (да)

11. Диагонали квадрата равны. (да)

12. Площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон. (нет)

13. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон. (да)

14. Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. (да)

15. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту. (нет)

16. Сумма углов ромба равна 360°. (да)

17. Сумма двух противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°. (да)

18. Диагонали параллелограмма параллельны. (нет)

19. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм – квадрат. (да)

20. Если диагонали ромба равны 3 и 4. То его площадь равна 6. (да)

21. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. (да)

• Окружность

1. Длина окружности радиуса R равна πR. (нет)

2. Длина окружности радиуса R равна 2πR. (да)

3. Если расстояние от точки до центра окружности меньше или равно радиусу окружности, то эта точка лежит на окружности. (нет)

4. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше диаметра окружности, то эти прямая и окружность пересекаются. (нет)

5. Площадь круга равна квадрату его радиуса. (нет)

6. Через любые три точки проходит единственная окружность. (нет)

7. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то эти прямая и окружность пересекаются. (да)

8. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов, то эти окружности пересекаются. (нет)

9. Площадь круга радиуса R равна 2πR. (нет)

10. Центром окружности, описанной около правильного треугольника, является точка пересечения высот. (да)

11. В любой четырехугольник можно вписать не более одной окружности. (да)

12. Если стороны прямоугольника равны 3 и 4, то диаметр описанной около него окружности равен 5. (да)