Лекции / Лекции по физике. Раздел _Механика_ / fizika_1_1 / 1

4

КИНЕМАТИКА

Системы отсчета. Кинематика материальной точки. Траектория, перемещение, путь, скорость, ускорение. Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение. Криволинейное движение; нормальное и тангенциальное ускорения. Движение точки по окружности. Угловые перемещение, скорость, ускорение. Связь линейных и угловых характеристик. Кинематика абсолютно твердого тела (АТТ), число степеней свободы.

1. Механическое движение – изменение взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени.

1. В зависимости от величины и скорости перемещения объектов механика подразделяется на классическую, релятивистскую и квантовую.

2. Классическая механика состоит из трех основных разделов – статики, кинематики и динамики.

   1. Статика – рассматривает законы сложения сил и условия равновесия тел.

   2. Кинематика – дает математическое описание всевозможных видов механического движения безотносительно к тем причинам, которые вызывают эти движения.

   3. Динамика – исследует влияние взаимодействия между телами на их механическое движение.

3. Материальная точка – тело, форма и размеры которого несущественны в условиях данной задачи. Система материальных точек – совокупность тел или частей одного тела, каждая из которых удовлетворяет понятию материальной точки.

4. Абсолютно твердое тело – тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Абсолютно упругое тело – тело, деформация которого подчиняется закону Гука. Абсолютно неупругое тело – тело, которое после прекращения внешнего воздействия полностью сохраняет деформированное состояние, вызванное этим воздействием.

2. Системой отсчета называется жестко связанная с абсолютно твердым телом система координат, снабженная часами и используемая для определения положения в пространстве тел и их частей в различные моменты времени.

   1. Тело, с которым связана система отсчета, называют телом отсчета.

   2. Чаще всего употребляется декартова система координат, ортонормированный базис которой образован тремя единичными по модулю и взаимно ортогональными векторами , и , проведенными из начала координат.

   3. Положение материальной точки задается радиус-вектором r, соединяющим начало координат с этой точкой – = x + y + z, где x, y, z – компоненты радиус-вектора по координатным осям, а x, y, z – декартовы координаты материальной точки.

3. Движение материальной точки определяется кинематическими уравнениями движения материальной точки – x = x(t), y = y(t), z = z(t), которые эквивалентны векторному уравнению движения материальной точки – r = r(t).

   1. Линия, описываемая в пространстве движущейся точкой, называется траекторией движения этой точки.

   2. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движения точки. В общем случае траектория материальной точки – пространственная кривая.

   3. Сумма длин всех участков траектории, пройденных материальной точкой за рассматриваемый промежуток времени, называется длиной пути.

   4. Момент времени t = t₀, ранее которого движение точки не рассматривается, называется начальным моментом времени (обычно полагают t₀ = 0), а положение точки в пространстве в этот момент называется начальным положением.

      

   5. Вектором перемещения точки за промежуток времени от t = t₁ до t = t₂ называется вектор, проведенный из положения точки в момент t₁ в ее положение в момент t₂

- = –

2. Число независимых движений, которые может совершать механическая система, называется числом степеней свободы.

   1. Материальная точка, свободно движущаяся в пространстве, может совершать только три независимых движения (три степени свободы) – поступательное движение вдоль координатных осей.

   2. Система материальных точек помимо поступательного движения может совершать вращательное движение всей системы и колебательное движение элементов системы относительно друг друга. Таким образом, система материальных точек имеет девять степеней свободы.

3. Скорость – характеристика быстроты движения тел.

   1. Средней скоростью движущейся точки в интервале времени от t до t + t называется вектор , равный отношению приращения радиус-вектора за этот промежуток времени к его продолжительности.

= /t

2. Скоростью (или мгновенной скоростью) точки называется векторная величина , равная первой производной по времени от радиус-вектора рассматриваемой точки

= d/dt

Можно представить

3. Вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения материальной точки.

4. Разложение вектора v по базису декартовой системы координат имеет вид

= v_x +v_y + v_z

Модуль вектора скорости равен

Движение точки называется равномерным, если модуль скорости ее перемещения остается неизменным

v = const

5. Средней путевой скоростью неравномерного движения называется скалярная величина, равная отношению длины пройденного участка траектории к продолжительности прохождения этого участка. В общем случае средняя путевая скорость точки не равна модулю средней скорости точки на этом участке

6. При плоском движении материальной точки ее скорость можно разложить на две составляющие – радиальную скорость и трансверсальную скорость

где и , – полярный радиус-вектор материальной точки, – единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости движения точки. Модуль вектора скорости при этом

7. При вращении тела вокруг оси отдельные точки тела двигаются с угловой скоростью ω, вектор которой направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, а модуль не зависит от положения точки относительно оси

2. Ускорение – характеристика быстроты изменения скорости.

   1. Ускорением называется векторная величина , равная первой производной по времени от скорости v материальной точки

1. Если , то движение называется ускоренным, а если , то движение называется замедленным.

2. Если , то движение называют равнопеременным: при - равноускоренное движение; при - равнозамедленное движение.

3. Путь, пройденный телом при равноускоренном (равнозамедленном) движении определяется уравнением

4. Мгновенное значение скорости при равноускоренном (равнозамедленном) движении определяется выражением

2. Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости траектории. Его можно разложить на две составляющие – касательное, или тангенциальное, ускорение и нормальное, или центростремительное, ускорение

1. Вектор тангенциального ускорения направлен параллельно вектору скорости (по касательной к траектории движения), а его модуль равен первой производной от скорости по времени

2. Вектор нормального ускорения направлен перпендикулярно вектору тангенциального ускорения (в направлении, противоположном направлению вектора радиуса кривизны траектории), а его модуль определяется соотношением

3. Модуль полного ускорения определяется выражением

3. Тангенциальное и нормальное ускорения определяются характером движения.

   1. Признаком прямолинейного движения является .

   2. Признаком равномерного движения является .

   3. Для наиболее распространенных видов движения

Вид движения
Равномерное прямолинейное	0	0
Прямолинейное равнопеременное	const	0
Равномерное движение по окружности	0	const

2. Вращательное движение описывается уравнением движения, в котором характеристикой перемещения тела в пространстве является угол поворота 

 = (t)

1. При вращении тела вокруг оси отдельные точки тела двигаются с угловой скоростью ω, вектор которой направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, а модуль равен первой производной от угла вращения по времени

2. Если ω = const, то вращение равномерное и его характеризуют периодом вращения Т – временем, за которое любая точка тела совершает один полный оборот.

3. Число полных оборотов в единицу времени называется частотой вращения

4. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени

1. Угол поворота при равноускоренном (равнозамедленном) вращательном движении определяется уравнением

2. При ускоренном вращательном движении мгновенное значение угловой скорости определяется выражением

1. При увеличении скорости вращения направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости, а при уменьшении скорости вращения направление вектора углового ускорения противоположно направлению вектора угловой скорости.

2. Связь между линейными (длина пути s, модуль линейной скорости v, модули ускорений а_ и а_n) и угловыми характеристиками (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение )