Міністерство освіти і науки національний університет водного господарства та природокористування Математичні методи і моделі

Методичні вказівки до лабораторних занять № 6 для студентів для напряму підготовки 6.080101 ,,Геодезія, картографія та землеустрій”

Рівне–2013

УДК 378+004

ББК 32. 973

Т 47

Математичні методи і моделі. Методичні вказівки до лабораторних занять № 6 для студентів для напряму підготовки 6.080101 ,,Геодезія, картографія та землеустрій” – Рівне: НУВГП, 2013. – 12 с.

Укладач: Ю.Й. Тулашвілі

Рецензенти:

Відповідальний за випуск: Ю.Й. Тулашвілі

Рекомендовано методичною комісією за галуззю знань 0403 "Системні науки та кібернетика", протокол № від 2013 року.

© Ю.Й. Тулашвілі 2013

Основні теоретичні відомості Постановка завдання інтерполяції

Нехай на відрізку [a, b] задані n+1 точки , які називаються вузлами інтерполяції, і значення деякої функції в цих точках . Треба побудувати функцію (інтерполююча функція), що належить відомому класу і що має у вузлах інтерполяції ті ж значення, що і , тобто таку, що .

Геометрично це означає, що треба знайти криву деякого певного типу, що проходить через задану систему точок .

Отриману інтерполяційну формулу зазвичай використовують для наближеного обчислення значень певної функції для значень аргументу х, відмінних від вузлів інтерполяції. Така операція називається інтерполяцією функції .

У такій загальній постановці завдання може мати незліченну безліч рішень або зовсім не мати їх. Проте це завдання стає однозначним, якщо замість довільної функції шукати поліном із степенем не вище , що задовольняє умовам (1), тобто такий, що .

Інтерполяційний багаточлен Лагранжа

Якщо вузли різні, то існує єдиний інтерполяційний багаточлен із степенем . Його можна записувати в різних формах. Розглянемо інтерполяційний багаточлен Лагранжа і Ньютона. У формі Лагранжа інтерполяційний багаточлен має вигляд

(1)

Наприклад,

Розділені різниці. Інтерполяційний багаточлен Ньютона.

Щоб ознайомитися з інтерполяційним багаточленом у формі Ньютона, введемо в розгляд поняття розділена різниця. Значення функції у вузлах називаються розділеними різницями нульового порядку. Числа виду називаються розділеними різницями першого порядку.

Розділена різниця -го порядку визначається через розділені різниці -го порядку по реккурентной формулі .

Розділену різницю -го порядку ( ) можна виразити через по наступній формулі:

.

Наприклад,

.

Тобто, розділена різниця - симетрична функція своїх аргументів. За допомогою розділених різниць інтерполяційний багаточлен у формі Ньютона можна записати таким чином:

(2)