Расчётно-графическая работа
по дисциплине «ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ»
специальности
230401 Информационные системы (по отраслям)
ТЕМА: Анализ решений различных систем линейных уравнений
Вариант №
Выполнил студент группы И-21-11
Иванов Александр Сергеевич;
проверила преподаватель
Кихтенко Нелли Анатольевна
Невинномысск
2012-2013 учебный год
Приложение 3
Методические указания и пример типового расчёта
расчётно-графического задания по теме
«Анализ решений различных систем линейных уравнений»
Теория
Для
систем линейных уравнений A:
Запишем расширенную матрицу коэффициентов системы:
.
Определитель
системы 
.
Теорема
Крамера:
Пусть
-
определитель системы А, а 
определитель матрицы, полученной из
матрицы А заменой j-го
столбца столбцом свободных членов.
Тогда, если 
,
то система имеет единственное решение,
определяемое по формулам:
, (j=1,
2, …, n).
Если
=0:
1) и при этом хотя бы один 
0, то решений нет (т.е. система несовместная);
2)
и при этом все 
=0,
то решений бесконечно много (т.е. система
неопределённая).
Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:
Решение:
Выпишем
расширенную матрицу коэффициентов:
.
Вычислим
определители матрицы:
3
Теперь
по формулам Крамера: 
; 
; 
.
Ответ: (4;2;1)
Задание 2. Решение системы линейных уравнений
средствами матричного исчисления
Теория
Дана СЛАУ
Запишем эту систему линейных алгебраических уравнений в матричной форме.
Обозначим:
А=
- матрица коэффициентов при переменных,
или матрица системы;
Х=
- матрица -столбец переменных;
В
- матрица- столбец свободных членов.
Матричное уравнение:
для
решения этого матричного уравнения,
если квадратная матрица А является
невыраженной, умножим обе части уравнения
слева на обратную матрицу 
:
т
Х=
, то решением системы методом обратной
матрицы будет матрица- столбец:
Задание 2. Решить систему уравнений методом обратной матрицы
Решение:
А=
, Х= 
, В= 
.
Тогда в матричной форме данная система уравнений имеет вид:
, её решение Х= .
Главный
определитель матрицы 
,
значит обратная матрица существует.
Найдём обратную матрицу :
Транспонируем
матрицу А: 
.
Найдём
алгебраические дополнения элементов
транспонированной матрицы 
:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Составим
из них присоединённую матрицу 
:
.
Вычислим
обратную матрицу по формуле 
:
.
Тогда,
Х=
= 
*
= 
= =
= 
.
Значит,
,
,
.
Ответ: (4;2;1)
Вычисление определителей с помощью теоремы Лапласа
При вычислении определителей высоких порядков целесообразно так преобразовать исходную матрицу, чтобы преобразованная матрица имела строку (столбец), содержащую как можно больше нулей, а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу).
При этих преобразованиях используют свойства определителей. В частности, определитель матрицы не изменится, если к элементам какой- либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умножение на одно и то же число.
Пример: Вычислить определитель четвёртого порядка
