Решение:

1. Область определения функции ;

2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:

Критические точки функции:

,

,

Определим знак производной в каждом интервале монотонности:

, точка max, так как производная изменила знак с "+" на "−",

, точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции в этих точках:

3. Исследуем функцию на выпуклость, вогнутость кривой и перегиб:

Критические точки: , , ,

Определим знак II производной в интервале кривизны:

, значит, кривая выпуклая на промежутке,

, значит, кривая вогнутая на промежутке;

Вычислим ординату точки перегиба:

4. Найдём дополнительные точки графика:

По результатам исследования строим график функции:

Пример 2. Исследовать функцию по первой и второй производной и построить её график: .

Решение:

1. Область определения функции ,

точка разрыва, чтобы определить её характер, найдём правосторонний и левосторонний пределы функции в этой точке:

Значит, точка разрыва рода,

прямая вертикальная асимптота графика функции.

Найдём наклонную асимптоту графика:

где угловой коэффициент прямой найдём по формуле

Так как существует, то есть и наклонная асимптота. Вычисляем коэффициент b:

Значит, наклонная асимптота графика имеет уравнение .

2. Исследуем функцию на монотонность и на экстремум:

, учтем правило дифференцирования

Критические точки функции:

, , , , х=2,

не существует при х=0.

Определим знак производной в интервалах монотонности:

,

точка min, так как производная изменила знак с "−" на "+".

Вычислим сам экстремум функции:

3. Исследуем функцию на перегиб:

Найдём вторую производную:

Критические точки функции, в которых или не существует:

критическая точка.

Определим знак второй производной в каждом интервале кривизны:

, значит, кривая вогнутая;

, значит, кривая вогнутая.

Точек перегиба график функции не имеет.

Найдём дополнительные точки графика:

у=0, тогда -это точка пересечения графика функции с осью Ох;

при х=1: у = точка (1;5);

при х=4: у = точка (4;4,25).

По результатам исследования строим график функции:

Методические указания и примеры типового расчёта

задания №42 "Математического тренинга" по теме

«Дифференциал функции и его применение в приближенных вычислениях» Теория:

Определение: Дифференциал функции -это главная часть приращения функции .

Дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента: ,

где - дифференциал аргумента, - производная функции.

Определение: Дифференциал аргумента равен приращению аргумента , где - приращение аргумента.

Тогда, дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:

В приближённых вычислениях учитывают, что при - мало

То есть, можно считать, что приращение функции приближённо равно дифференциалу этой функции при условии, что приращение аргумента достаточно мало.

Также можно дифференциал функции применять при приближённом вычислении значения функции в точке: ,

так как и при .

Пример1. Найдите приближённое значение приращения функции

у= в точке х=-2, если аргумент получил приращение