Решение:
Рассмотрим точку х=0:
1.
Вычислим левосторонний предел в точке:
2.
Вычислим правосторонний предел в
точке:
3. Вычислим значение функции в этой точке:
Так как предел функции слева равен пределу функции справа и равен самой функции в точке х=0:
то х=0- точка непрерывности функции.
Рассмотрим точку х=-4:
1.
Вычислим левосторонний предел в точке:
2.
Вычислим правосторонний предел в
точке:
3.
- не существует. Значит, 
точка разрыва
II
рода.
Построим схему графика функции вблизи точки разрыва:
Задание 2. Построить график функции без применения производной
Решение:
1.
Область определения функции 
,
-
не существует, значит 
-
точка разрыва.
2. Найдём односторонние пределы функции:
Вычислим
левосторонний предел в точке:
Вычислим
правосторонний предел в точке:
Значит, точка - точка разрыва II рода.
3. Найдём пределы функции на бесконечности:
Строим график функции по результатам исследования:
Методические указания и пример типового расчёта
задания №32 "Математического тренинга" по теме
«Исследование функции на экстремум по второй производной»
Если
в критической точке (в которой производная
или не существует) вторая производная
функции 
положительна, то в этой критической
точке будет точка минимума (Рис.1), а если
в критической точке вторая производная
отрицательна, то в этой точке будет
точка максимума (Рис.2).
Рис.1 Рис.2
Правило исследования функции на экстремум по второй производной:
1.
Найти
производную 
.
2.
Найти критические точки функции, решив
уравнение 
3.
Найти 
производную 
.
4. Вычислить в найденных критических точках значение производной.
5.
По знаку 
производной сделать вывод о том, является
ли критическая точка 
точкой максимума или точкой минимума.
6. Вычислить в найденной точке экстремума сам экстремум функции.
Примечание:
Если
в критической точке 
вторая производная оказалась равна
нулю, то это неопределённый случай, и
тогда исследовать на экстремум придётся
по первой производной.
Пример
1. Исследовать
функцию 
на экстремум по второй производной.
Решение:
1.
Найдём первую производную: 
;
2.
Найдём критические точки функции: 
,
тогда получим уравнение
,
,
,
,
- критические точки функции;
3.
Найдём вторую производную: 
;
4. Определим знак второй производной в найденных критических точках:
,
значит, точка 
- точка max
,
,
значит,
точка 
- точка min;
5. Вычислим значение экстремума функции в точках экстремума:
;
Ответ:
при
,
при
.
Методические указания и примеры типового расчёта
задания №34 "Математического тренинга" по теме
«Исследование функции по первой и второй производной и построение графика функции»
Пример
1. Исследовать функцию по первой и второй
производной и построить её график:
