Решение:
Найдем
координаты векторов по формуле 
=(
):
=(-3-6;2-5;1-(-5))=(-9;-3;6), =(2-6;-4-5;4-(-5))=(-4;-9;9),
=(-1-6;-5-5;5-(-5))=(-7;-10;10),
=(2-(-3);-4-2;4-1)=(5;-6;3),
=(-1-(-3);-5-2;5-1)=(2;-7;4),
=(-1-2;-5-(-4)=(-3;-1;1).
Тогда длины ребер пирамиды можно найти как длины соответствующих векторов по формуле = :
=
=
11,2
(ед.дл),
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
2.
Угол между ребрами 
найдем
по формуле косинуса угла между двумя
векторами:
)=
,
где
=(-9;-3;6),
=(-7;-10;10),
=11,2
(ед.дл),
=15,8
ед.дл.
Скалярное
произведение двух векторов равно сумме
произведений их одноименных координат:
∙
=-9∙(-7)+(-3)∙(-10)+6∙10=63+30+60=153.
=
,
отсюда
arccos0,865
.
3.
Площадь грани
равна площади ∆
которую
можно найти с помощью векторного
произведения векторов
=(-9;-3;6)
и
=(-4;-9;9).
Подставим координаты этих векторов в формулу
,
тогда 
=
=
=
×
×
+
×
×
+
×
×
=
=
(-27+54)-
(-81+24)+
(81-12)=27
+57
+69
=(27;57;69).
Тогда модуль векторного произведения равен
=
Площадь
треугольника:
=
=
93,5=46,7
(кв.ед.дл.)
4.
Уравнение грани 
составим, подставив координаты трех
точек
(-3;2;1),
(2;-4;4),
(-1;-5;5)
в уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки:
=0,
тогда имеем: 
=0,
или
=0,
разложим определитель третьего порядка по элементам первой строки:
(x+3)
-
(y-2) 
+(z-1)
=0,
(x+3)(-24+21)-(y-2)(20-6)+(z-1)(-35+12)=0,
-3(x+3)-14(y-2)-23(z-1)=0,
-3x-9-14y+28-23z+23=0,
-3x-14y-23z+42=0 , умножим обе части уравнения на (-1), получим уравнение
3x+14y+23z-42=0 - это общее уравнение грани .
5.
Составим уравнение высоты 
М,
опущенной из вершины
на грань
.
Направляющим вектором этой прямой
М
можно считать нормальный вектор плоскости
,
которая задана общим уравнением
3x+14y+23z-42=0
. Значит, координаты её нормального
вектора 
=(3;14;23).
Итак, направляющий вектор высоты
М
имеет координаты 
=(l;m;n)=(3;14;23).
Подставим
координаты точки 
и координаты напрвляющего вектора
=(l;m;n)=(3;14;23)
в каноническое уравнение прямой,
проходящей через заданную точку с
заданным направляющим вектором:
=
=
.
Тогда, каноническое уравнение высоты:
=
=
6.
Найдем расстояние от вершины
(6;5;-5)
до грани 
заданной
общим уравнением 3x+14y+23z-42=0,
применив формулу расстояния от точки
до плоскости:
d=
,
где Ax+By+Cz+D=0
общее уравнение плоскости;
(
координаты точки. Тогда,
d=
=
2,55( ед.дл.)
Это расстояние можно найти и другим способом.
Уравнение
плоскости 
:
3x+14y+23z-42=0;
Уравнение
высоты 
,
опущенной из точки
на грань
:
.
Координаты
точки 
,
являющейся пересечением грани
с перпендикуляром, опущенным на неё из
вершины
,
найдем решив совместно уравнение грани
и уравнение прямой:
Перейдем от канонического уравнения прямой к параметрическому уравнению :
,
где 
числовой
параметр. Отсюда имеем:
,
или 
.
Подставим эти выражения в уравнение грани :
3(3t+6)+14(14t+5)+23(23t-5)-42=0, найдем отсюда t:
9t+18t+196t+70+529t-115-42=0,
734t-69=0,
734t=69
, t=
.
Подставим
найденное значение параметра t
=
в параметрическое уравнение прямой
:
Итак, точка M
имеет координаты
М(6,282;6,316;-2,838).
Расстояние от (6;5;-5) до точки М:
=
(
=
=
7.
Объем пирамиды
:
V=
Найдем смешанное произведение трех векторов:
=(-9;-3;6),
=(-4;-9;9),
=(-7;-10;10)
по формуле
=
.
Тогда,
=
=3
=
-3
(-40+63)=
= -69.
(При упрощении определителя к элементам второго столбца прибавили соответствующие элементы третьего столбца)
Значит,
V=
=
.
Методические указания и примеры типового расчёта
заданий №24, №25 "Математического тренинга" по теме