Упражнения

1. Докажите, что множество всех подмножеств данного множества частично упорядочено отношением включения .

2. Всякое частично упорядоченное множество содержит не более одного наибольшего (наименьшего) элемента. Докажите.

3. Постройте линейный порядок на

1.8. Мощность множества

Множество называется эквивалентным множеству если между и можно установить взаимнооднозначное соответствие. В этом случае применяется обозначение ~ .

Свойства эквивалентности:

1. ~ (рефлексивность);

2. если ~ то ~ (симметричность);

3. если ~ ~ С, то ~ С (транзитивность).

Мощностью множества называется класс всех множеств, эквивалентных множеству и обозначается он через или . Эквивалентные множества называют равномощными. Обозначим через 0 мощность пустого множества , через 1 мощность множества {0} , через 2 мощность множества {0, 1},..., n = {0, 1, ..., n – 1}. Если существует натуральное n такое, что n = то множество называют конечным, а n – числом элементов множества n = | |. Всякое подмножество конечного множества конечно, объединение конечного числа конечных множеств конечно, прямое произведение конечного числа конечных множеств конечно. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

ТЕОРЕМА. Конечное множество неэквивалентно собственному подмножеству.

Доказательство. Пусть f – взаимнооднозначное отображение в , т. е. f( ) . Возьмем a \ f( ) и построим последовательность а₀ = а, а_i+1 = f(a_i) при i  0. Тогда a_i  a_j при i  j. Значит содержит бесконечное подмножество {a₀, a_{1, ...} }. ■

1.9. Счетные множества

Множество, эквивалентное множеству ={0, 1, 2, ...}, называется счетным, и его мощность обозначается .

ТЕОРЕМА. Бесконечное множеств содержит счетное подмножество.

Доказательство. Пусть бесконечно, . Тогда \{a₀} тоже бесконечно. (Если предположить, что = \{a₀} конечно, то и также конечно). Следовательно, существует a₁ \{a₀}, что \{a₀, a₁} бесконечно, и т.д. Полoжим f(0) = a₀, f(1) = a₁,... Тогда f осуществляет взаимнооднозначное соответствие между множествами и {a₀, a₁, ...}. ■

ТЕОРЕМА. Множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно эквивалентно некоторому собственному подмножеству.

Доказательство. Пусть бесконечно, = {b₀, b₁ , ...} – его счетное подмножество. Тогда = ( ( \ )) ~ ( \{b₀})( \ ) = \{b₀} Обратное очевидно. ■

ТЕОРЕМА. Подмножество счетного множества счетно или конечно.

Доказательство. Достаточно доказать для . Пусть I и I бесконечно. Построим f:  I. Возьмем в качестве f(0) наименьший элемент множества I, в качестве f(1) наименьший элемент множества I\{f(0)} и т.д.; f осуществляет взаимнооднозначное соответствие между и I.

ТЕОРЕМА. Если и счетны, то  счетно.

 счетно, если все счетны.

Доказательство. Способ нумерации элементов  :

1 2 3 4 ... номера элементов множества ,

   

1 2 3 4 номера элементов множества .

Способ нумерации

1  2 3  4 5  6 7 …

1 2 3 4 5 6 7 …



1 2 3 4 5 6 7 …

ТЕОРЕМА. Если бесконечно, – конечное или счетное множество, то (  )~ . Если бесконечно и несчетно, конечно или счетно, то (А\ )~ .

Доказательство. Если счетное подмножество множества , то (  ) ~ . Поэтому  = ( \ )( \ ) ~ ( \ ) = . Здесь \ бесконечно, поэтому ( \ ) ~ ( \ ).

Отсюда ~ ( \ ). ■

Будем говорить, что  если эквивалентно некоторому подмножеству множества . Если  а и неэквивалентны, то будем писать <