8.2. Сокращенная днф

Интервал называется максимальным для f, а ЭК А простой, если не существует допустимого интервала N_f такого, что . В приведенном примере максимальным являются Остальные допустимые интервалы (точки) содержатся в перечисленных. Например, Поэтому простыми конъюнкциями будут Пусть – множество всех максимальных для f интервалов. Будем называть сокращенной ДНФ (сокр. ДНФ). Сокр. ДНФ обладает замечательным свойством.

ТЕОРЕМА. Минимальная ДНФ для f получается из сокращенной удалением некоторых элементарных конъюнкций.

Лемма. где переменные C отличны от переменных В.

Доказательство леммы. Если переменные входят в А и В, то входят в одной и той же степени. Действительно, если это не так, то , что противоречит условию . Пусть

Покажем, что множество пусто. Если оно не пусто, то рассмотрим набор такой, что

На этом наборе

Следствие. Если , то ранг В меньше ранга А.

Доказательство теоремы. Пусть ЭК А, не являющаяся простой, вошла в мин. ДНФ f, т.е. мин. ДНФ и по лемме второму покрытию соответствует ДНФ меньшей сложности, что противоречит минимальности взятой ДНФ.

8.3. Тупиковая днф

Выбрасывание ЭК из ДНФ, в том числе и из сокращенной, можно осуществлять по следующему правилу.

Пусть оно остается покрытием, т.е. Тогда , т.е. конъюнкция может быть удалена из ДНФ. В противном случае т.е. нельзя удалить из ДНФ.

Если же после применения этого приема несколько раз получится ДНФ, из которой нельзя удалить ни одной ЭК, то получится ДНФ, называемая тупиковой. Соответствующее покрытие интервалами называется неприводимым. Ясно, что мин. ДНФ тупиковая. Рассмотрим ДНФ .

З десь Удаляем

Для имеем поэтому удаляем Получим тупиковую ДНФ .

Е й соответствует покрытие (рис. 8.2).

Если бы мы выбрали другую последовательность удаления ЭК из ДНФ, то могли бы получить другую тупиковую ДНФ Мы имеем

Соответствующее этой ДНФ неприводимое покрытие иллюстрируется рис. 8.3.

8.4. Метод Блейка сокращения днф

Применяем к ДНФ , реализующей булевы функции f , тождественные преобразования:

1. правило поглощения ( 1 )

2. правило обобщенного склеивания ( 2 )

до тех пор, пока это можно. Получим некоторую ДНФ .

ТЕОРЕМА Квайна. ДНФ является сокращенной ДНФ булевой функции f.

Доказательство. Рассмотрим любую простую для f конъюнкцию А, не входящую в Докажем, что в процессе преобразований она будет введена в . Прежде всего заметим, что среди переменных А нет таких, которые не входят в Допустим противное, что и переменная y не входит в , Множеству принадлежат все наборы, в которых . Но на таком наборе значений переменных на любом наборе, на котором множеству принадлежит любой набор, на котором конъюнкция равна 1, т.е. имеем , а это означаeт, что ЭК А не простая для f.

Рассмотрим все ЭК С, удовлетворяющие трем условиям:

1. С содержит только переменные, общие с ;

2. , т.е. А минимальна по рангу среди ЭК вида С;

3. в ДНФ не существует ЭК А_j такой, что .

Множество ЭК С, удовлетворяющих условиям 1-3, непусто. Этим условиям удовлетворяет А. Обозначим одну из конъюнкция С наибольшего ранга через k. Эта конъюнкция не может включать все переменные . В противном случае – точка в . Но всякая точка в этом пространстве содержится в а это противоречит условию 3.

Пусть переменная входит в , но не входит в k. Рассмотрим конъюнкцию Их ранги больше ранга они не удовлетворяют условию 3. Это означает, что в

Конъюнкция и должны содержать и соответственно. В противном случае , что неверно для k в силу условия 3. Остальные сомножители и общие с применяя к преобразование (2), введем в конъюнкцию , которая либо в точности k, либо ее интервал содержит k.

Аналогичные построения можно выполнить для любой конъюнкции наибольшего ранга, удовлетворяющей условиям 1-3. Тем самым доказано, что в процессе применения правила обобщенного склеивания к наибольший ранг конъюнкций С уменьшается по крайней мере на 1.

Повторяя рассуждения, заметим, что наступит момент, когда останется одна конъюнкция, удовлетворяющая условиям 1-3. Это А. Рассматривая ее вместо k, убеждаемся, что она будет введена в преобразованную ДНФ в преобразованную ДНФ войдут все простые ДНФ для f.

После включения ни одна такая конъюнкция не может быть удалена. Действительно, правило (2) ничего не удаляет из , а правило (1) удаляет только те ЭК, которые не являются простыми. Если в ДНФ будут введены все простые для f ЭК, то все остальные будут удалены по правилу поглощения.

Пример. Если f = (01011110), то