Упражнения

Найдите число всех различных n-местных булевых функций, сохраняющих константы 0 и 1 одновременно. Замкнут ли класс таких функций?

4.3. Класс самодвойственных булевых функций

Если f^* = f, то функция f называется самодвойственной. Множество всех самодвойственных булевых функций обозначается через S. Функции х,  х самодвойственные. Функции  и  двойственны друг другу и поэтому несамодвойственные. Два набора из нулей и единиц называем их противоположными, если на соответствующих местах у них расположены противоположные элементы 0 и 1.

ТЕОРЕМА. Булева функция самодвойственная тогда и только тогда, когда на противоположных наборах значений переменных принимает противоположные значения.

Доказательство. f^* = f   f(х₁,…, х_n) = f(  x₁ ,…, x_n).

ТЕОРЕМА. Число всех различных n-местных самодвойственных булевых функций равно

Доказательство. По предыдущей теореме оно равно числу всех возможностей для составления верхней половины таблицы, задающей n-местную булевую функцию.

ТЕОРЕМА. Класс S замкнут.

Доказательство. Пусть f₁, f₂  S   f₁(х₁, …, х_n) = f₁( x₁, …,  x_n),  f₂(х₁, …, х_n) = f₂( x₁, …,  x_n); f = f₁(x₁, …, x_n–1), f₂(y₁, …, y_m)) 

f^* =  f₁( х₁, …, х_n–1, f₂( y₁, …,  y_m)) =

=  f₁( x₁, …,  x_n–1,  f₂(y₁, …, y_m)) = f₁(х₁, …, х_n-1, f₂(y₁ ,…, y_m)) = f  f  S.

Общий случай можно получить многократным повторением этого рассуждения. ■

Упражнение

Найдите число всех различных n-местных булевых функций, принимающих одинаковые значения на одних и тех же наборах значений переменных. Замкнут ли класс таких функций?

4.4. Класс монотонных булевых функций

Введем на множестве всех n-местных двоичных векторов частичный порядок: вектор  = а₁,…,а_n предшествует вектору  = b₁, …,b_n тогда и только тогда, когда a₁  b₁,…,a_n  b_n . Записываем это так:   .

Булева функция называется монотонной, если из того, что  предшествует  следует, что f()  f(), где f() = f(a₁, …, a_n). Множество всех монотонных булевых функций обозначим через М. Легко видеть, функции отрицание, сумма по модулю два, эквиваленция и импликация немонотонны, а тождественная функция, конъюнкция и дизъюнкция монотонны.

ТЕОРЕМА. Класс М замкнут.

Доказательство. Пусть f₁(х₁, …, х_n)  М, f₂(у₁, …, у_m)  M,

a₁  b₁, …, a_{n + m –1}  b_{n+m –1}  f₂(a_n , .., a_{n+m –1})  f₂(b_n, …, b_{n+m –1}).

Рассмотрим функцию f = f₁(x₁, …, x_{n –1}, f₂(y₁, …, y_m)). Для нее

f(a₁, …, a_{n+m –1}) = f₁(a_{1, …,} a_{n –1}, f₂(a_n, …, a_{n+m –1}))  f₁(b₁, …, b_{n –1},

f₂ (b_n,…, b_{n+m –1})) = f(b₁, …, b_{n+m –1})  f  M.

Повторением этого рассуждения можно доказать, что любая суперпозиция функций из М вновь принадлежит М, а это значит, что класс М замкнут. ■

Упражнение

Докажите, что функции Шеффера и Пирса немонотонные, а функция h(x, y, z) = xy  xz  yz монотонная.