Дифференциальные уравнения второго порядка

Интегрируемые случаи дифференциального уравнения второго порядка:

• если

у"=f(x),

• то общее решение

у = +

• если

у"=f(y),

• то общий интеграл

• если

y"=f(y')

• то общий интеграл уравнения может быть найден из соотношения

Где y'=p

• Случаи понижения порядка для дифференциаль­ного уравнения второго порядка:

если

у" = f(x, y'),

то, полагая у' = р(х), получаем

;

Если

у" = f(,y y'),

то, полагая у' = р(у), будем иметь

p =f(y,p).

Общее решение линейного однородного дифферен­циального уравнения второго порядка у" +p(x)y'+q(х)у = 0

у = С₁у₁ + С₂у₂,

где у₁иу₂ — линейно независимые частные решения.

• Общее решение линейного неоднородного дифферен­циального уравнения второго порядка у" + р(х)у' + + q(х)y = (x)

y=у(x) +z,

где у(x) — общее решение соответствующего однородно­го уравнения, z — частное решение данного неодно­родного уравнения.

Общий вид решений однородного уравнения

y"+py +qy = 0

(Р и q постоянны) в зависимости от корней

характеристического уравнения k² + pk + q = 0

Характер корней к1 и к2 характеристического уравнения	Вид общего решения
Корни к1 и к2 действительные и различные
Корни равные: к1 и к2	у-( + )
Корни комплексные: к1= к2=

Характер частного решения z

неоднородного уравнения у" + ру' + qу = f(х)

(Р и q постоянны) в зависимости от правой части f(х)

Правая часть f(x)	Случаи
(a, m постоянные)	, . , .	z=A , z=A , z=A .
(M, N, постоянны)	≠0,	z=Acos + Bsin z=x(Acos + Bsin )
(a, b, c постоянны)	q≠0, q=0, p≠0.	z=A +Bx+C, z=x( A +Bx+C)

Контрольные задания Задание 1: Вычислить пределы

Задание 2: Найти производные указанных функций

Задание 3: Найти точки экстремума функции