Основные формулы интегрирования

(табличные интегралы)

(11.1)

(n≠-1); (11.2)

(11.3)

(11.4)

(11.5)

(11.6)

(11.7)

(11.9)

(11.10)

(11.11)

(11.12)

(11.13)

При применении формул (11.3), (11.10) и (11.11) знак абсолютной величины пишется только в тех случаях, когда выражение, стоящее под знаком логарифма, может иметь отрицательное значение.

Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынтегральное выражение.

Пример 1. Найти следующие интегралы:

1) ∫5dx; 2) ∫6x²dx; 3) ∫4(x²-x+3)dx; 4) ∫2(3x-1)²dx; 5)

1) На основании свойства 4⁰ постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и, используя формулу (11.1), получим

∫5dx=5∫dx=5x+C.

2) Используя свойство 4⁰ и формулу (11.2), получим

Проверка: d(2x³+C)=6x²dx. Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

3) Используя свойства 3⁰ и 4⁰ и формулы (11.2) и (11.3), имеем

С.

Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную (С₁-С₂+С₃=С).

4)

5)

Интегрирование методом замены переменной

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла ∫f(x)dxв интеграл ∫F(u)du, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла ∫f(x)dxзаменяем переменную х новой переменной uс помощью подстановки x=φ(u). Дифференцируя это равенство, получим dx=φ′(u)du. Подставляя в подынтегральное выражение вместо xи dx их значения, выраженные через uиdu, имеем:

После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки u=ψ(x) он приводится к переменной х.

Пример. Найти следующие интегралы:

1) ∫(3х+2)⁵dx; 2)∫(2x³+1)⁴x²dx;

3) ; 4) .

1) введем подстановку 3х+2=u. Дифференцируя, имеем 3dx=du, откуда dx=(1/3)du. Подставив в данный интеграл вместо 3х+2 и dx их выражения, получим

Заменив uего выражением через х, находим

Проверка:

2) Положим 2х³+1=u, откуда 6x²dx=du, x²dx=(1/6)du. Таким образом,

3) Пологая x²+1=u, имеем 2xdx=du,xdx=(1/2)du. Значит,

4) Положим 5х³+1=u, откуда 15x²dx=du,x²dx=(1/15)du. Поэтому

Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства d(uv)=udv+vdu, получим

∫d(uv)=∫udv+∫vdu; uv=∫udv+∫vdu,

Откуда

∫udv=uv-∫vdu

С помощью этой формулы вычисление интеграла ∫udvсводится к вычислению интеграла∫vdu, если последний окажется проще исходного.

Пример: найти следующие интегралы:

1) 2) ; 3) .

1) Положим u=x, dv=sinxdx; тогда du=dx, ∫dv=∫sinxdx, т.е. v=-cosx. Используя формулу (11.14), получим

2) Положим u=lnx, ; тогда , По формуле (11.14) получим

3) Положим тогда .

По формуле (11.14) получим

В числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем а² и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

Последний интеграл находим по формуле (11.11):

Перенеся из правой части в левую, получим

Или окончательно