Наименьшее и наибольшее значения функции

Для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1. Найти критические точки, принадлежащие заданному

промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2. Найти значения функции на концах промежутка;

3. Сравнить полученные значения; тогда наименьшее и

наибольшее из них являются соответственное наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

Направления выпуклости графика функции

Кривая y=f(x) называется выпуклой вниз в промежутке

a<x<b, если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Кривая y=f(x) называется выпуклой вверх в промежутке a<x<b, если она лежит нижу касательной в любой точке этого промежутка.

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

Точки перегиба

Точка графика функции y=f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Правило нахождения точек перегиба графика функции y=f(x)

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки функции y=f(x), в которых обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на

которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если при этом критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то является абсциссой точки перегиба функции.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Тема: Построение графиков функций

Общая схема построения графиков функций

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений).

4. Найти асимптоты графика функции.

5. Найти промежутки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найти промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Построить график, используя полученные результаты исследования.

Неопределенный интеграл основные формулы интегрирования. Непосредственное интегрирование.

1. Основные формулы интегрирования. Функция F(x) называется первообразной для функции ƒ(x) в промежутке a≤x≤b, если в любой точке этого промежутка ее производная равнаƒ(x):

a≤x≤b.

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной f(x)dxесть действие, обратное дифференцированию, – интегрирование.

Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dxназывается неопределенным интегралом и обозначается символом ∫f(x)dx. Таким образом,

если

Здесь f(x)- подынтегральная функция; f(x)dx– подынтегральное выражение; С – произвольная постоянная.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла.

1­­⁰. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

∫dF(x)=F(x)+C

2⁰. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

,

3⁰. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций:

4⁰. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

5⁰. Если u=φ(x) – любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то: