Производная

Производной функцией f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю:

.

Функции f(x), имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Основные правила дифференцирования.

Производная алгебраической суммы функций

. (1)

Производная произведения двух функций

. (2)

Производная произведения трех функций

. (3)

Производная произведения постоянной на функцию

. (4)

Производная частного (дроби)

. (5)

Частные случаи формулы (5):

; (6)

. (7)

При условии u=x

C'=0, (8)

x'=1, (9)

, где n-любое действительное число, (10а)

, (11a)

, (12a)

, (13a)

, (14a)

, (15a)

, (16a)

При условии

, где n-любое действительное число, (10)

, (11)

, (12)

, (13)

, (14)

, (15)

, (16)

ПРИМЕРЫ:

1. Найти производную следующей функции:

Решение:

2. 

Используем формулы (2), (1), (10а), (8), (9), находим

Решение:

3. 

Используем формулы (5), (1), (10а), (8), получим

Решение: .

4. 

Решение: По формуле производной произведения получим:

.

Найдем производные в каждом из слагаемых и выполним преобразования:

.

Приложения производной к исследованию функций.

Функция y=f(x) называется возрастающей в промежутке a<x<b, если для любых ,принадлежащих этому промежутку и таких, что , имеет место неравенство .

Функция y=f(x) называется убывающей в промежутке u<x<b, если для любых , имеет место неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции y=f(x) характеризуется знаком ее производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке.

Правило нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью первой производной.

Найти производную f '(x).

Найти критические точки функции y=f(x), т.е. точки, в которых f '(x) обращается в нуль или терпит разрыв.

Исследовать знак производной f '(x) в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). При этом критическая точка есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором f '(x) < 0, от промежутка, в котором f '(x) > 0, и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенной критической точкой функция экстремума не имеет.

Вычислить значения функции в точках экстремума.

Исследовать на экстремум следующие функции:

ПРИМЕР:

Решение: Находим . Полагая , получим единственную критическую точку ч=2. Дальнейшие рассуждения представлены в таблице:

x	-	5/2	2<x<
f '(x)	-	0	+
f(x)		Максимум	↗

Х

0

А (2; -4)

У

График функции есть

парабола, изображенная на рисунке. Точка минимум (2;-4) является вершиной параболы.

Правила нахождения экстремумов функции y=f(x) с помощью второй производной.

Найти производную f '(x).

Найти критические точки данной функции, в которых

f '(x)=0.

Найти вторую производную f ''(x).

Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительный, то – минимум. Если же

вторая производная ровна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

Вычислить значения функции в точках экстремума.

ПРИМЕР:

Исследовать на экстремум с помощью второй производной функции:

.

Решение: 1) Находим производную: . Решая уравнение , получим критическую точку х=1. Найдем

теперь вторую производную: . Так как вторая производная в критической точке положительна, то при х=1 функция имеет минимум: .

2) Находим . Найдем теперь . Определим знак второй производной в критических точках. Так как , то при х=2 функция имеет максимум; так как , то при х=4 функция имеет минимум. Вычислим значения функции в точках экстремума: .