Министерство образования республики Коми

Государственное образовательное учреждение

Среднего профессионального образования

«Воркутинский горно-экономический колледж»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОБУЧЕНИЯ

Воркута

2013

Рассмотрено и рекомендовано циклом общих математических и естественно научных дисциплин.

Введение.

В настоящих методических указаниях, предназначенных для студентов заочного факультета, кратко излагаются основы теоретические положения курса Математики. Рассматриваются типовые задачи и приводятся их решение с объяснением. Методические материалы предназначены для оказания помощи студенты при самостоятельном изучении материала и выполнении контрольных работ по темам, входящим в программу 1 части курса математики. Методические указания содержат 10 вариантов контрольной работы, которую студент должен выполнить, согласно программе.

Составитель: преподаватель математики И.А.Калинкина

Рецензенты: зам. директора по НМР А.В.Корда

зам директора по УР М.М. Ткачук

Программа

Тема 1: Предел и непрерывность функции.

Тема 2: Производная. Дифференциал функции и его приложения.

Тема 3: Приложения производной к исследованию функции и построению графиков.

Тема 4: Неопределенные интегралы.

Тема 5: Определенный интеграл и его приложения.

Тема 6: Комплексные числа.

Тема 7: Дифференциальные уравнения.

Тема 8: Элементы теории вероятностей и математической статистики.

Экзаменационные вопросы.

1. Функция, числовая функция, способы задания. Область определения и область изменения функции. Основные свойства (монотонность, четность, периодичность).

2. Числовая последовательность, способы задания и способы изображения числовой последовательности. Свойства числовой последовательности.

3. Предел числовой последовательности и его геометрический смысл.

4. Теоремы о пределах числовой последовательности.

5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

6. Правило раскрытия неопределенности вида

7. Предел функции в точке и его геометрический смысл.

8. Правило раскрытия неопределенности вида

9. Определение производной, её физический и геометрический смысл.

10. Формулы дифференцирования.

11. Дифференциал функции и его геометрический смысл.

12. Вторая производная я и ее физический смысл.

13. Сложная функция и правило ее дифференцирования.

14. Монотонность функции, признак монотонности.

15. Исследование функции на наименьшее и наибольшее значение в некотором промежутке.

16. Выпуклость графика функции, признак выпуклости.

17. Точки перегиба, признак точек перегиба.

18. Алгоритм исследования функции с помощью производной.

19. Понятие первообразной функции.

20. Неопределенный интеграл, компоненты, свойства.

21. Таблица неопределенных интегралов, их доказательство.

22. Способы интегрирования.

23. Определенный интеграл, компоненты, свойства.

24. Формулы Ньютона-Лейбница.

25. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла.

26. Решение физических задач с помощью интеграла.

27. Дифференциальные уравнения.

28. Геометрические приложения неопределенного интеграла.

Введение в анализ Функции одной переменной и их пределы

Для успешного задания из настоящего раздела необходимо изучать теоретический материал, обратив особое внимание на понятия функции, ее области определения, бесконечно малой и бесконечно большой величин, предела и непрерывности функции; овладев основными приемами вычисления пределов неопределенных выражений (неопределенностей) различный типов с использованием классических пределов и эквивалентных малых.

Для раскрытия неопределенности типа (∞/∞) используют деления числителя и знаменателя на самое быстро растущее слагаемое, например, на старшую степень x при x→∞:

;

Неопределенность типа (∞-∞) предварительно следует привести к типу (∞/∞). Например,

(x- )=(∞-∞)= =

Для раскрытия неопределенности типа (0/0) возникающей при причине предела рациональной дроби (отношения многочленов), многочлены в числителе и знаменателе разлагают на множители:

Непрерывность и разрывы функции одной переменной

К точке а на оси ОХ аргумент может приближаться справа (х> ) или (х< ), что обозначает соответственно как х→ +0 или х→ -0. Соответствующие пределы функции называются односторонними. Правосторонний предел обозначают (a+0), левосторонний – (a-0).Если , то функция в точке а непрерывна. В противном случае в точке а функция имеет разрыв.

-разрыв первого рода, если оба односторонних предела в этой точке конечны и не равны, т.е.

Разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов в этой точке бесконечен или не существует.

Пример 9. Найти разрывы и нарисовать график функции

Решение. Функция определена на всей числовой оси, составлена из элементарных функций и поэтому может иметь разрывы только в точках аналитического задания. Для х=3

;

т.е. при х=3 функция непрерывна.

Для х=4

т.е. при х=4 функция имеет разрыв первого рода со скачком

Г

рафик функций (рис. 6) состоит из параболы, прямой и графика показательной функции.

-1 0 1 2 3 4

Yy\

x

Рис. 6