5.1.6. Вычисление точки [64]g , как результат удвоения точки [32]g:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)

K = mod P = mod 293 = 177 mod 293 → 177.

- вычисление координат точки [64]G = (X₆₄; Y₆₄)

X₆₄ = (K² – 2X₃₂) mod P = (177² - 2*243) mod 293 = 78 mod 293 → 78;

Y₆₄ = (K*(X₃₂ – X₆₄) – Y₃₂) mod P = (177*(243 – 78) – 3) mod 293 =

= 195 mod 293 → 195.

Следовательно, [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195), координаты точки [64]G определены как X₆₄ = 78; Y₆₄ = 195.

5.1.7. Вычисление точки [128]g , как результат удвоения точки [64]g:

- вычисление углового коэффициента касательной в точке [64]G = (X₆₄; Y₆₄) = (78; 195)

K = mod P = mod 293 = 152 mod 293 → 152.

- вычисление координат точки [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈)

X₁₂₈ = (K² – 2X₆₄) mod P = (152² - 2*78) mod 293 = 94 mod 293 → 94;

Y₁₂₈ = (K*(X₆₄ – X₁₂₈) – Y₆₄) mod P = (152*(78 – 94) – 195) mod 293 =

= 10 mod 293 → 10.

Следовательно, [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10), координаты точки [128]G определены как X₁₂₈ = 94; Y₁₂₈ = 10.

5.2. Вычисление композиций различных точек удвоения заданной эллиптической кривой ( [2]g; [4]g; [16]g; [32]g; [128]g ).

Для вычисления открытого ключа абонента В необходимо использовать пять следующих точек [2]G; [4]G; [16]G; [32]G; [128]G. Это подмножество точек определяется числовым значением секретного ключа абонента В К_ЗВ = 182. Число 182 определяется композицией точек подмножества 182 = 2 + 4 + 16 + 32 + 128. В свою очередь, [К_ЗВ]G = [182]G = [2]G + [4]G + [16]G + [32]G + [128]G.

5.2.1. Вычисление композиции точек [128]G и [32]G ( [128]G + [32]G = [160G] ):

( [128]G = (X₁₂₈; Y₁₂₈) = (94; 10); [32]G = (X₃₂; Y₃₂) = (243; 3)).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [128]G и [32]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 173 mod 293 → 173.

- Вычисляются координаты точки [160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀):

X₁₆₀ = (K² – X₁₂₈ – X₃₂) mod P = (173² – 94 – 243) mod 293 = 292 mod 293 → 292.

Y₁₆₀ = (K*(X₁₂₈ – X₁₆₀) – Y₁₂₈) mod P = (173* (94 – 292) – 10) mod 293 =

= 17 mod 293 → 17.

Следовательно, [160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (292; 17), координаты точки [160]G определены как X₁₆₀ = 292; Y₁₆₀ = 17.

5.2.2. Вычисление композиции точек [160]G и [16]G ( [160]G + [16]G = [176]G ):

( [160]G = (X₁₆₀; Y₁₆₀) = (292; 17); [16]G = (X₁₆; Y₁₆) = (28; 237)).

- Вычисление углового коэффициента прямой, проходящей через точки [160]G и [16]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 48 mod 293 → 48.

- Вычисляются координаты точки [176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆):

X₁₇₆ = (K² – X₁₆₀ – X₁₆) mod P = (48² – 292 – 28) mod 293 = 226 mod 293 → 226.

Y₁₇₆ = (K*(X₁₆₀ – X₁₇₆) – Y₁₆₀) mod P = (48* (292 – 226) – 17) mod 293 =

= 221 mod 293 → 221.

Следовательно, [176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (226; 221), координаты точки [176]G определены как X₁₇₆ = 226; Y₁₇₆ = 221.

5.2.3. Вычисление композиции точек [176]G и [4]G ( [176]G + [4]G = [180]G ):

( [176]G = (X₁₇₆; Y₁₇₆) = (226; 221); [4]G = (X₄; Y₄) = (86; 71)).

- Вычисление углового коэффициента касательной прямой, проходящей через точки [176]G и [4]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 22 mod 293 → 22.

- Вычисляются координаты точки [180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀):

X₁₈₀ = (K² – X₁₇₆ – X₄) mod P = (22² – 226 – 86) mod 293 = 172 mod 293 → 172.

Y₁₈₀ = (K*(X₁₇₆ – X₁₈₀) – Y₁₇₆) mod P = (22* (226 – 172) – 221) mod 293 =

= 88 mod 293 → 88.

Следовательно, [180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (172; 88), координаты точки [180]G определены как X₁₈₀ = 172; Y₁₈₀ = 88.

5.2.4. Вычисление композиции точек [180]G и [2]G ( [180]G + [2]G = [182]G ):

[180]G = (X₁₈₀; Y₁₈₀) = (172; 88); [2]G = (X₂; Y₂) = (292; 276).

- Вычисление углового коэффициента касательной прямой, проходящей через точки [180]G и [2]G заданной эллиптической кривой:

K = mod P = mod 293 = 109 mod 293 → 109.

- Вычисляются координаты точки [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂):

X₁₈₂ = (K² – X₁₈₀ – X₂) mod P = (109² – 172 – 292) mod 293 = 283 mod 293 → 283.

Y₁₈₂ = (K*(X₁₈₀ – X₁₈₂) – Y₁₈₀) mod P = (109* (172 – 283) – 88) mod 293 =

= 119 mod 293 → 119.

Следовательно, [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (283; 119), координаты точки [182]G определены как X₁₈₂ = 283; Y₁₈₂ = 119.

Таким образом, значение открытого ключа абонента В определится как К_ОВ = [К_ЗВ]G = [182]G = (X₁₈₂; Y₁₈₂) = (283; 119) при значении закрытого (секретного) ключа абонента В равного К_ЗВ = 182.