1. Построение электрических осей

Если радиусы цилиндров имеют значительный размер, как в рассматриваемой задаче, то электрические оси цилиндров не совпадают с геометрическими, а смещаются на некоторые расстояния x1 и x2. При учете такого смещения можно считать, что весь заряд сосредоточен в электрических осях и линии напряженности поля начинаются на положительной оси и заканчиваются на отрицательной.

Рис. 1. Электрическое поле двух цилиндров

На рис. 1. представлена картина электрического поля двух цилиндров с одинаковыми зарядами. Для ее построения необходимо выполнить следующие действия:

- Начертить в масштабе две окружности цилиндров с заданными радиусами R1 и R2. При этом расстояние между геометрическими центрами окружностей O₁O₂ должно быть равно d.

- Провести касательную a к окружностям и обозначить точку C, находящуюся на прямой a и равноудаленную от точек касания.

- Построить прямую b, проходящую через точку C перпендикулярно линии O₁O₂,

- Начертить окружность с центром в точке C с радиусом, равным расстоянию от точки C до любой из точек касания. Точки E₁ и E_2­, полученные на пересечении этой окружности с линией O₁O₂, и будут центрами электрических осей. Расстояния между точками O₁ и E₁, а также O₂ и E₂, будут равны x1 и x2, соответственно.

- Построить силовые линии электрического поля. Для этого, выбирая произвольные точки на прямой b, следует провести окружности с радиусами, равными расстояниям от выбранных произвольных точек до одного из электрических центров E₁ или E₂ (рис. 1).

2. Определение потенциалов на поверхности цилиндров

Длины заданных цилиндров намного больше их радиусов, поэтому можно считать их бесконечными. При расчетах следует учитывать, что заряд первого цилиндра положителен, а второго – отрицателен. Потенциал в точке, находящейся на некотором расстоянии от бесконечного цилиндра, можно определить по формуле:

(1)

где Q – заряд цилиндра, Кл;

ε₀ = 8,85·10^-12 Ф/м – электрическая постоянная в вакууме;

L – длина цилиндра, м;

z – расстояние от электрической оси цилиндра до точки, в которой определяется потенциал.

Таким образом, потенциал от поля первого цилиндра в точке A1 будет равен:

,

а потенциал поля второго цилиндра в той же точке, будет равен:

.

Суммарный потенциал в точке A₁ будет определяться как сумма потенциалов от всех полей:

Аналогично, потенциал в точке A2 будет определяться по формуле:

Разность потенциалов U между точками A1 и A2 можно найти путем вычитания полученных потенциалов:

(2)

3. Расчет емкости промежутка

Ёмкость промежутка показывает, какой заряд нужно сообщить каждому из цилиндров, чтобы увеличить разность потенциалов между ними на 1 вольт. Её можно рассчитать по формуле:

(3)

4. Расчет напряженности поля в заданных точках.

Напряженность поля, в отличие от потенциала, является векторной величиной. Поэтому необходимо найти не только ее величину, но и направление. Удобнее всего искать направление вектора напряженности поля геометрически. Для этого следует найти векторную сумму напряженностей поля каждого цилиндра в заданной точке. Модуль вектора напряженности поля одного бесконечного цилиндра может быть определен по формуле:

, (4)

где z – расстояние от электрической оси цилиндра до точки, в которой определяется напряженность.

Для точки A₁ (рис. 1): напряженность поля будет складываться из и , причем вектора и направлены в одну сторону и лежат на одной прямой.

В этом случае суммарный модуль вектора напряженности в точке A₁ может быть найден по формуле:

Для точки A₂ (рис. 1): Аналогично, суммарный модуль вектора напряженности в точке A₂ может быть рассчитан по формуле:

Вектора напряженности всегда направлены в сторону отрицательного заряда, поэтому напряженности E₁ и E₂ также будут иметь одно направление.

Для точки A₃ (рис. 1): расчет напряженности необходимо начать с определения расстояний от точки A₃ до электрических осей цилиндров. По условию заданы e₁ и e₂ – расстояния до геометрических центров цилиндров. Выполнив на чертеже построения, показанные на рис. 2, можно определить расстояния y₁ и y₂.

Рис. 2. Определение напряженности поля в точке A₃.

Напряженность поля первого и второго цилиндра в точке A₃ может быть определена по формулам:

Суммарный вектор напряженности поля определяется как векторная сумма его составляющих:

(5)

Модуль вектора можно определить по чертежу или из теоремы косинусов:

(6)

Найденные вектора напряженности поля следует отметить в масштабе на чертеже.

Задание 2