§ 5. Запись больших и малых чисел

При измерениях или вычислениях физических величин могут получаться числа либо очень большие, либо очень малые. Например, длительность года равна 365 дней или 8760 часов, или 525600 минут, или 31536000 секунд. Видно, что длительность года, выраженная в днях, более удобна для вычислений, чем выраженная в секундах.

Для удобства вычислений большие числа принято записывать в более компактном виде с использованием числа 10 в степени.

Например, возьмем число 1000. Его можно представить в виде 101010 или же 10³. Следовательно, число 3000 можно записать так: 31000=310³. Число 0,00001 можно записать так: . Понятно, что такая запись числа более удобна. Это хорошо видно из следующих примеров:

1. 2000000000000 = 210¹²

2. 0,0000000000000004 = 410^-16

Покажем теперь, как производить вычисления с такими числами. Например,

1004000=400000=410⁵, или же

1004000=10²410³=410³⁺² =410⁵

40000,01=40, или

40000,01=410³10^-2=410^3+(-2)=410¹=40

Любое число можно представить в виде произведения двух множителей. Первый множитель – это целое число с дробной частью, а второй - это число 10 с показателем степени.

Например, длительность года может быть представлена в виде:

31536000 с  3,1510⁷с

Длина экватора Земли составляет 40000000 м =410⁷ м.

Масса комара равна 2 мг = 0,000002 кг = 210^-6 кг

Запись чисел с использованием числа 10 в степени называют записью числа в стандартном виде.

Математические действия с такими числами производить гораздо легче. Пусть даны числа и . Тогда произведение этих чисел будет равно: , а частное .

Приведем следующие примеры:

1. 5,210⁴410⁷ = 5,2410⁴⁺⁷= 20,810¹¹

2. 810⁴410^-6=8410^4-6 = 3210^-2

3. 

4. 

Напоминаем, что 10⁰ = 1.

Переведем в систему СИ следующие величины:

1. 1 см³ = 1(10^-2м)³= 110^-23м³ = 110^-6м³

2. 2 мм² =2(10^-3м)²= 210^-32м² = 210^-6м²

3. 4 мг = 410^-3г= 410^-310^-3кг = 410^-6кг

4. 3л =3дм³=3(10^-1м)³=310^-13м³=310^-3м³

5. 7 мл=710^-3л=710^-3дм³=710^-6м³

6. 12 т = 1210³ кг

7. 5 нм³=5(10^-9м)³= 510^-27м³

Приведем некоторые размеры и расстояния:

1. длина вируса 300 нм

2. диаметр теннисного мяча 6,4 см

3. высота жирафа до 6 м

4. длина кита синего (самое крупное животное) до 33 м

5. пирамида Хеопса 137 м

6. эвкалипт (самое высокое дерево) до 150 м

7. Эверест (высочайшая горная вершина) 8848 м

8. длина реки Нил (самая протяженная река мира) 6670 км

9. расстояние от Земли до Солнца 15010⁶ км

10. расстояние от Земли до -Центавра - ближайшей звезды (не считая Солнца) 4,2 световых года

Самостоятельно рассчитайте расстояние, которое проходит свет за 1 год. Это расстояние называется 1 световой год и используется в астрономии, как единица измерения расстояний.

Лабораторная работа 1 «Определение цены деления мензурки и измерение объема воды и тел, имеющих правильную и произвольную форму»

Цели работы:

1. научиться определять цену деления прибора;

2. научиться правильно пользоваться приборами;

3. научиться определять объемы тел с помощью мерного цилиндра (мензурки)

Оборудование:

1. цилиндр мерный (мензурка)

2. стакан с водой

3. нитка

4. цилиндры из латуни, стали, алюминия

5. деревянный брусок

6. тела произвольной формы (камешки, гайки, шурупы)

7. кусок пластилина

Задание 1. Определение цены деления мензурки и измерение объема воды.

Ход работы:

1. Внимательно изучив шкалу мензурки, запишите в тетради, в каких единицах измеряется объем с помощью этой мензурки. Какой максимальный объем можно измерить с помощью данной мензурки. Переведите его в м³

2. Используя знания, полученные вами при изучении §3 данного учебника, определите цену деления шкалы мензурки.

3. Налейте в мензурку воду и определите ее объем. Измерения производите, правильно располагая глаз и деление шкалы. Определите погрешность измерения. Запишите ответ с учетом погрешности измерения.

4. Заполните таблицу:

Vmax (в литрах и м3)	Цена деления шкалы	Погрешность измерения	V воды (в литрах и м3)

Указание: Обращаем ваше внимание на то, что 1 мл = 1 см³. Объем жидкостей выражают как в мл так и в см³, а объем твердых тел не принято выражать в миллилитрах.

Задание 2. Измерение объема тел, имеющих различную форму с помощью мензурки.

Ход работы:

1. Налейте в мензурку воды и отметьте начальный объем воды V_o в ней.

2. Привяжите нить к цилиндрам из латуни, стали и алюминия и опустите их в мензурку по очереди, каждый раз, измеряя новое положение уровня воды V₁ в мензурке.

3. Определите объем цилиндров как разность конечного и начального объемов воды в мензурке.

4. Повторив опыты, привязав к нити гайку и шуруп, определите объемы этих твердых тел.

5. Поместите в мензурку с водой деревянный брусок. С помощью карандаша полностью погрузите его под воду. Измерьте новый объем воды V₁. Найдите объем деревянного бруска как разность конечного и начального объемов воды в мензурке.

6. Запишите данные измерений и вычислений в таблицу:

Исследуе-мое тело	Начальный объем воды Vо (см3)	Общий объем воды и тела V1 (см3)	Объем тела V=V1-Vo (см3)
Латунный цилиндр Стальной цилиндр Деревянный брусок Шуруп Гайка

Задание 3. Определение объема тел неправильной формы.

Ход работы:

1. Сделайте из пластилина шарик и определите его объем при помощи мензурки. Превратите шарик в кубик, цилиндр, в тело произвольной формы и каждый раз измерьте его объем. Зависит ли объем взятого пластилина от его формы?

2. Запишите данные измерений и вычислений в таблицу:

Исследуе-мое тело	Начальный объем воды Vо (см3)	Суммарный объем воды и тела V1 (см3)	Объем тела V=V1-Vo (см3)
Шарик Кубик Цилиндр Произволь- ная форма

Сделайте выводы по результатам проведенной лабораторной работы.