3.11 Средние скорости молекул

Пользуясь функцией распределения М., можно вычислить ряд важных в молекулярной физике величин: средней арифметической скорости <v>, средней квадратичной скорости v = √<v²> и наиболее вероятной скорости v_н.

1. Средняя арифметическая скорость <v> по определению равна отношению суммы скоростей всех молекул единицы объема к числу молекул единицы объема.

Число молекул в единице объема, скорости которых заключены в интервале от v до v+dv равно nf(v)dv; Сумма скоростей всех таких молекул равна vnf(v)dv. Чтобы найти сумму скоростей всех молекул, обладающих любыми скоростям

∞

0

и, нужно это выражение прои

∞

0

нтегрировать по всем возможным значениям скорости от 0 до ∞. Следовательно, сумма всех скоростей молекул ∫vnf

∞

0

(v)dv, а <v> = 1/n∫ vnf(v)dv , т.е.,

<v> = ∫v

∞

0

f(v)dv , подставив f(v),

∞

0

получим:

< v> = 4/√π (m/ 2kT)^3/2∫ v³e

∞

0

dv = 4/√π (m/2kT)^3/2∫ v²e vdv

vdv = d(v²)/2, значит <v> = 4/√π (m/2kT)^3/2½∫ v²e d(v²)

Введем новую переменную Z=mv²/2kT : ½

∞

0

∫ v²e d(v²) = ½ (2kT/m )²

∞

0

∫Ze^-ZdZ, тогда, учитывая, что ∫Ze^-ZdZ = 1, получим:

<v> = 4/√π (m/2kT)^3/22(kT/m)² = √8kT/πm

2) Средняя квадратичная скорость √< v²> – отношение суммы

∞

0

квадратов скоростей молекул единицы объема к числу молекул в этом объеме

∞

0

:

<

∞

0

v²> = ∫ v²f(v)dv = 4π(m/2πkT) ^3/2∫ v⁴e dv

б ерется по частям ∫ v⁴edv = 3/8(2kT/m)^5/2√π

тогда <v²> = 3kT/m; v = √< v²> = √3 kT/m

3)Наиболее вероятная скорость молекулы, ей соответствует max на кривой распределения М., поэтому ее находят, приравнивая производную функции нулю:

(d/dv)f(v) = d/dv(4/√π (m/2kT)^3/2v²e) = 0

т.е. d/dv(v²e) = 0, после дифференцирования получаем:

2ve(1-mv²/2kT) = 0. Это уравнение имеет три решения: v = 0; v = ∞, либо выражение в скобках равно нулю. Следовательно, v_н находят из условия:

1- mv²/2kT = 0 => v_н = √2 kT/m

Сравнивая выражения для <v>, v и v_н, видно, что

v = √3π/8<v> = 1,09<v> = √3/2 v_н = 1,22v_н

т.е. и средняя арифметическая, и средняя квадратичная скорости близки к v_н.

рис.17

4 Второй закон термодинамики

Для полного описания термодин. процессов первого з-на т. недостаточно. Как всеобщий з-н сохр. и превращ. энергии, он не позволяет определить направление протек. процессов. Например, процесс передачи теплоты от холл. тела к гор. не противоречит 1 з-ну т., если только уменьшение внутр. энергии холодного тела равно энергии, получ. горячим телом. Опыт показывает, однако, что такие проц. не происх.

Пр. при опускании раскаленного металла в воду, никогда не наблюдается дальнейшее нагревание металла за счет соотв. охлажд. воды.

Обобщение огромного экспер. мат. привело к необход. развития термод. и формулировки 2-го з-на т., что превратило термодинам. метод иссл. в физике в один из самых мощных методов.