6. Еңбек көлемі есептелген білім алушының өздік жұмысының тапсырмалары;

Мақсаты

Математика мен оның әдіс-тәсілдерін меңгерудің бір маңызды бөлімі студенттердің өзіндік жұмыстары болып табылады.

СӨЖ-де қарастырылатын сұрақтар мен есептер математикалық анализдің негізгі ұғымдары мен олардың қасиеттерін меңгеруге көмектеседі, студенттердің білімін жетілдіру мен шығармашылықпен дамуына дағдыландырады.

Мұндай сұрақтарды қарастыру теориялық және практикалық сабақтар арасындағы бос кеңістікті толтыруға тиісті. Өйткені практикалық сабақтарда есептер шығару барысында теоремалар тек дайын рецепт (әрине, ол оқытушыға да байланысты) ретінде ғана қолданылуы мүмкін. Сондықтан негізгі теоремалардың қолданылуы толық анализ жасап, есеп шешуінің әрбір кезеңіндегі рөлін көрсете білуді талап етеді.

Әдістемелік нұсқаулар

Студенттердің аудиториядан тыс жұмыстарына жазбаша бақылау жұмыстар (жалпы және жеке), берілген тақырып бойынша әдебиеттермен жұмыстар орындау кіреді.

Берілген қандайда бір тапсырманы орындауға кіріспес бұрын тағы да бір рет дәрістің конспектісіне немесе оқулықтардың тиісті тақырыптарын қарап шығуды ұмытпаңыз.

Жаттығуларда көрсетілген нұсқаларға ұқсас фактілер қолданылатын әдебиеттер тізіміндегі көптеген математикалық анализдің оқулықтары мен оқу құралдарында жазылған. Сондықтан қабілетті студенттер осы әдістемелік нұсқаулар мен тиісті әдебиеттерді, әсіресе шешімімен берілген есептерді түсініп алғаннан кейін ғана берілген тапсырмалардағы есептерді шығаруға әрекет жасауға тиіс, сонда ол өз бетінше барлық тапсырмаларды орындай алады. Осындай жағдайда өз бетінше орындаған тапсырманың пайдасы зор болады деп ойлаймыз. Есептерді шығару барысында қолданылатын тұжырымдар мен белгілердің шарттарының орындалуын қадағалау керек және түрлендірудің тепе-теңдігін сақтау қажет. СӨЖ-де бір жағынан бақылау жұмыстарына, коллоквиумға және емтиханға дайындалуға болады.

Егер студент аталған пән бойынша өз бетінше алған білімін одан ары тереңдеткісі келсе, онда осы бөлімде берілген сұрақтар және есептермен ғана шектеліп қалмай, ұсынылған әдебиеттер тізіміндегі оқулықтарды пайдалануға болады. Рефераттар мен курстық жұмыстарды оқытушының кеңесінен кейін студенттер өз күштерімен орындап, бекітілген график бойынша тапсыруы қажет.

Негізгі әдебиеттер

1. И.П.Привалов Введение в теорию функций комплексного переменного. М.:Наука,1977.

2. А.И.Маркушевич Краткий курс теории ана­литических функций. М.:Наука,1978.

3. М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат Методы теории функций комплексного переменного. М.:Наука,1973.

4. Б.У.Аубакиров, З.Н.Сыздыкова Аналитикалық функциялар теориясы. Акмола,1994. 2. 9

5. Л.Н.Волковыский, Г.Л.Лунц, Н.Г.Араманович Сборник задач по теории функций комплексного пере­менного. М.:Наука,1975.

6. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова Высшая математика в упражнениях и задачах (учебное пособие для вузов), часть II- М. «Высшая школа», 1986.

1-тақырып. Комплекс сандар

Негізгі сұрақтар

1. Комплекс сандар анықтамасы. Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану.

2. Комплекс сандар өрiсi. Комплекс жазықтығы комплекс сандар жиынын геометриялық бейнелеу ретінде.

3. Комплекс санның модулi мен аргументi; комплекс санның жазылуының тригонометриялық түрi.

4. Комплекс сандар жиынның  символымен толықтау. Стереографикалық проекция.

Негізгі тапсырмалар №№ 3, 8, 12, 15, 19, 23, 27, 30, 60.

2-тақырып. Комплекс айнымалы функциялар

Негізгі сұрақтар

1. С және маңайлары. С және ойылған маңайлар. С және жиындардың ішкі, шектік, шекаралық және сыртқы нүктелері, ашық және тұйық жиындар (С және ). С мағынасында С-да жататын шенелген жиындар. мағынасында -да жататын жиынның шенелуі. С-дағы және -дағы облыстар. Байланыстық және сызықтық байланыстық.

2. С-дағы (және -дағы) тізбектер. Олардың жинақталуы. С-дағы тізбектің жинақталуы мен екі нақты мәнді тізбектердің жинақталуымен байланысы. С-дағы (және -дағы) тізбектер үшін Больцано-Вейерштрасс теоремасы.

3. Функцияның анықтамасы. Өзара бірмәнді сәйкестік (бірбеттік функциялар). Комплекс айнымалы комплекс мәнді функцияның берілуі екі нықты айнымалы нақты мәнді функциялардың берілуімен мәндестігі. Функцияның геометриялық бейнелеулерінің тәсілдері.

4. Комплекс айнымалы комплекс мәнді функцияның шегі, үзіліссіздігі, 1-ші және 2-ші Вейерштрасс теоремалары, бірқалыпты үзіліссіздік туралы Кантор теоремасы.

Негізгі тапсырмалар: №№ 35, 39, 43, 61, 65, 69, 73, 74 (6), 77 (6), 81 (3), 82 (3), 111, 114, 117,120, 123, 126.

3-тақырып. Комплекс айнымалы функцияларды дифференциалдау

Негізгі сұрақтар

1. Нақты және комплекс анализдердiң мағынасында функцияның дифференциалдауы. Олардың байланысы: Коши-Риман шарты.

2. Нүктеде, ашық жиында, кез келген жиында функциның голоморфтылығы. Туындының модулiнiң және аргументiнiң геометриялыќ мағынасы. Конформды бейне туралы ұѓым

3. Бүтiн сызықты және бөлшек-сызықты функциялар. Олардың қасиеттерi: бірбеттілік, конформдылық, дөңгелектік қасиеті. Дөңгелектi өзiне және жоғарғы жартылай жазықтықты дөңгелекке бейнелейтiн бөлшек-сызықты функциялардың жалпы түрi.

4. Дәрежелiк функция: голоморфтылығы, бірбеттілік еместігі, бірбеттілік облыстары. Жуковский функциясы. Оның бірбеттілік және голоморфтылық облыстары.

5. Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері. Тригонометриялык функциялар.

Негізгі тапсырмалар: №№ 133, 137, 141, 145, 157, 161, 165, 169, 187 (4), 195, 203, 207, 211, 215, 273 (3), 283, 299 (6), 340 (1,4), 344 (1,4).

Тақырып 4. Комплекс айнымалы функцияларды интегралдау

Негізгі сұрақтар

1. Интеграл, сызықтық және аддитивтік қасиеттері, айнымалыны ауыстыруға қарағанда инвариантылық. Ориентациялануы, интегралды бағалау.

2. Алғашқы функция. Алғашқы функцияның жалпы түрі. Интегралдық есептеудің негізгі леммасы. Алғашқы функцияның бар болуы туралы локальды теоремасы. Жол бойымен алынған алғашқы функция. Ньютон-Лейбниц формуласы.

3. Жолдардың гомотоптылығы. Интегралдың жолдың гомотопты деформациясына қарағанда инвариантылығы туралы теорема. Бірбайланысты облыста голоморфты функцияның алғашқы функциясының бар болуы туралы теорема.

4. Кошидiң интегралдық формуласы.

Негізгі тапсырмалар №№ 389, 393 (3), 394 (3), 407, 411, 417, 418 (3), 422.

5-тақырып. Аналитикалық функциялар қатары Сабақтың мақсаты.

Негізгі сұрақтар.

1. Тағы да қатарлар туралы. Сандық қатардың жинақталуы, функционалдық қатардың нүктелі және бірқалыпты жинақталуы. Функционалдық қатардың жинакталуының мажорантты белгісі. Бірқалыпты жинақталатын қатардың мүшелеп интегралдану туралы теорема. Коши-Адамар формуласы.

2. Голоморфты функцияның өз анықталы облысының әр нүктесінің маңайында Тейлор қатарымен бейнелеу туралы теорема. Коши тенсiздiгi. Лиувилль теоремасы.

3. Дәрежелік қатардың қосындысының өз жинақталу дөңгелегінде голоморфты болатындығы туралы теорема. Голоморфты функциялардың шексіз рет дифференциалдану. Морера теоремасы. Жалғыздық теоремасы, голоморфты функциялардан құралған қатардың диффренциалдану туралы Вейерштрасс теоремасы.

Негізгі тапсырмалар №№ 427, 430, 433, 436, 437 (3), 438 (3), 439 (3), 443, 446, 448 (1), 455, 458, 469, 472, 475, 483, 528, 533.

6-тақырып. Лоран катары. Қаландылар.

Негізгі сұрақтар.

1. Лоран катары, оның жинақталу облысы. Сақинаның ішінде голоморфты функцияны Лоран қатарына жiктеу, жiктеудiң жалғыздығы.

2. Голоморфты функциялардың оңашаланған нүктелерi. Олардың Лоран қатары негізінде классификациялау. Сохоцкий теоремасы.

3. Қаландылар. Қалындылар туралы Коши теоремасы. Меншіксіз интегралдарды қалындар көмегімен есептеу. Жордан леммасы.

Негізгі тапсырмалар

№№ 545, 548, 551, 554, 558, 561 (3,8), 562 (1,8,14), 5675, 573, 584, 587, 622, 626, 629, 632, 635, 659, 662, 665, 675.