3. Дәрістердің қысқаша конспектісі

1-тақырып. Комплекс сандар

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. Комплекс санның анықтамасы. Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану. Комплекс сандар өрiсi.

2. Комплекс жазықтығы комплекс сандар жиынын геометриялық бейнелеу ретінде.

3. Комплекс санның модулi мен аргументi; комплекс санды тригонометриялық түрде жазу.

4. Комплекс сандар жиынның  символымен толықтау. (Риман сферасына) стереографикалық проекция кеңейтiлген комплекс сандар жиынын геометриялық бейнелеу ретінде, оның қасиеттерi.

Кез келген комплекс санды түрінде жазуға болатындығы алгебра курсынан белгілі, мұндағы және – кез келген нақты сандар, ал -жорамал бірлік. .

саны комплекс санның нақты бөлігі деп аталып арқылы белгіленеді, жорамал бөлігі деп аталып – арқылы белгіленеді.

және комплекс сандары тең деп аталады сол жағдайда, тек қана сол жағдайда егер болса.

және комплекс сандарының қосындысы деп комплекс санын атайды.

және комплекс сандарының көбейтіндісі деп комплекс санын атайды.

Сонымен, комплекс сандарын қосу мен көбейту, символна қатысты көпмүшеліктерге амалдар қолданғандағыдай.

саны санына түйіндес сан деп аталады.

Комплекс сандарды қосу мен көбейту амалдары коммутативтік, ассоциативтік және дистрибутивтік заңдарға бағынатынына көз жеткізу қиын емес, яғни

, болсын. шамасы комплекс санның модулі деп аталып, символымен белгіленеді. теңдіктерін қанағаттандыратын кез келген саны, комплекс санның аргументі деп аталып, символымен белгіленеді. шамасы тек қана нөлден өзге комплекс сандар үшін анықталады. -тің кез келген екі мәнінің айрымы -ге еселі болады.

Кез кеген комплекс санын тригонометриялық түрде өрнектеуге болады, мұндағы .

- комплекс санның көрсеткіштік түрде жазылуы.

Кез келген натурал үшін дәрежесі Муавр формуласы арқылы өрнектеледі.

комплекс санның ші дәрежелі түбірі, әртүрлі мәнге ие болады. Олар келесі формула арқылы анықталады:

Көп жағдайда комплекс санды жазықтықтағы нүктелер бейнелеген ыңғайлы (немесе векторлармен). Әрбір , , , комплекс саннына абсцисасы және ординатасы

болатын нүктесі немесе ОМ векторы сәйкес келтіріледі. Векторларды қосу сәйкес комплекс сандарды қосуды білдірелі.

Комплекс сандар бейнеленген жазықтық комплекс жазықтық деп, Х– осі нақты ось, ал У –жорамал ось деп аталады.

Ақырлы комплекс жазықтық С арқылы белгіленеді.

нүктесімен толықтырылған комплекс жазықтық, кеңейтілген комплекс жазықтық деп , ал ол проекцияланатын сфера –Риман сферасы деп аталады.

Кеңейтілген комплекс жазықтық символымен белгіленеді.

Өзіндік бақылау жасау үшін сұрақтар

1. Комплекс санның анықтамасы. Комплекс сандарға алгебралық амалдар қолдану.

2. Комплекс сандарды геометриялық бейнелеу.

3. Комплекс санның модулi мен аргументi қалай анықталады?

4. Комплекс санның тригонометриялық түрiде жазылуы қалай?

5. Кеңейтілген комплекс жазықтық қалай анықталады?

5. Стереографикалық проекция қалай анықталады? (Риман сферасына)

6. Муавр формуласын жазыңыз.

2-тақырып. Комплекс айнымалының функциясы

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. С және маңайлары. С және топология. С және ойылған маңайлар.

2. С және жиындардың ішкі, шектік, шекаралық және сыртқы нүктелері, ашық және тұйық жиындар (С және ). С мағынасында С-да жататын шенелген жиындар. мағынасында -да жататын жиынның шенелуі. С-дағы және -дағы облыстар. Байланыстық және сызықтық байланыстық.

3. С-дағы (және -дағы) тізбектер. Олардың жинақталуы. С-дағы тізбектің жинақталуы мен екі нақты мәнді тізбектердің жинақталуымен байланысы.

4. С-дағы (және -дағы) тізбектер үшін Больцано-Вейерштрасс теоремасы. [2, 16-17 бет].

5. Функцияның анықтамасы. Өзара бірмәнді сәйкестік (бірбеттік функциялар). Комплекс айнымалы комплекс мәнді функцияның берілуі екі нықты айнымалы нақты мәнді функциялардың берілуімен мәндестігі.

6. Функцияның геометриялық бейнелеулерінің тәсілдері (функцияның графигі R²*R²=R⁴ жататын жиын болады).

7. Комплекс айнымалы комплекс мәнді функцияның шегі, үзіліссіздігі.

8. 1-ші және 2-ші Вейерштрасс теоремалары.

9. Бірқалыпты үзіліссіздік туралы Кантор теоремасы.

Облыс пен шекара

Комплекс жазықтықтың және нүктелерінің ара қашықтығы аналитикалық геометриядан белгілі

(1)

формуламен анықталады.

Басқаша айтқанда, (1) формула жазықтығында метриканы анықтайды.

Егер оң саны бекітілген болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер жиыны, z комплекс жазықтығында радиусы , ал центрі нүктесіндегі дөңгелектің ішкі нүктелері болады. Ол нүктесінің -маңайы деп аталады.

нүктесі D жиынының ішкі нүктесі деп аталады, егер D жиыныда нүктесімен бірге

оның қандай бір маңайы жатса.

А н ы қ т а м а. Жазықтықтағы нүктелердің D жиыны ашық деп аталады, егер нүктелерінің барлығы D жиынының ішкі нүктелері болса.

Мысалы, сақинасы ашық жиын.

А н ы қ т а м а. Ашық D жиыны облыс деп аталады, егер ол байланысты болса, яғни кез келген нүктелерін толығымен D –да жататын сызығымен жалғауға болса.

Мысалы, жиыны облыс.

Екі дөңгелек и нүктелерінен тұратын D жиыны ашық, бірақ байланысты емес. Мысалы, осы шеңберлер ценрі болатын -1 және +1 нүктелерін барлық нүктелері D да жататын, қисығымен қоса алмаймыз.

А н ы қ т а м а. нүктесі D жиынының шектік нүктесі деп аталады, егер оның кез келген маңайында D жиынының ден өзге нүктелері жатса.

Барлық шектік нүктесі жиынға тиісті болса, ондай жиын тұйық деп аталады.

Ашық жиынның әрбір нүктесі сол жиынның шектік нүктесі болады. Ашық D жиынының шектік нүктесі ол жиында жатпауы да мүмкін. Онда ол D жиынының шекаралық нүктесі деп аталады.

Мысалы, болатын кез келген нүктесі жиынының шектік нүктесі.

А н ы қ т а м а. Ашық жиынның барлық шектік нүктелерінің жиынтығы оның шекарасы деп аталады.

Мысалы, сақинасының шекарасы и шеңберлер болады. Тұйық сақина теңсіздіктерімен анықталады.

С жазықтығындағы облыстар бірбайланысты және көпбайланысты болып бөлінеді.

А н ы қ т а м а. облысы бірбайланысты деп аталады, егер осы облыста жатқан кез келген тұйық (үзіліссіз) қисықты, осы облыстан шықпай бір нүктеге сығымдауға болса.

Кері жағдайда облысы көпбайланысты деп аталады.

Егер D-ның шекарасы өзара қиылыспайтын қисықтардан тұрса, ондай D облысы -байланысты деп аталады. Ол көпбайланысты болып табылады.

Мысалы, С жазықтығындағы дөңгелек, жарты жазықтық бірбайланысты облыстар, ал сақинасы екібайланысты.

А н ы қ т а м а. Жазықтықтың D нүктелер жиыны шенелген деп аталады, егер болатындай дөңгелегі бар болса.

Мысалы, дөңгелегі шенелген жиын. Себебі, болғанда болады. Жоғарғы жарты жазықтық шенелмеген жиын.

Тізбектер

А н ы қ т а м а. саны комплекс сандар тізбегінің шегі деп аталады, егер кез келген саны үшін номері табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса.

Ақырлы шегі бар тізбек жинақты тізбек деп аталып, түрінде жазылады. Бұл жазуымен эквивалентті.

комплекс сандар тізбегінің шегі шексіздік деп аталады, егер кез келген М саны үшін номері табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса.

Әрбір комплекс сандар тізбегіне және нақты сандар тізбектері сәйкес келеді.

1-теорема. шегі бар болуы үшін, және шектерінің бар болуы қажетті және жеткілікті.

Жинақты комплекс сандар тізбектері үшін жинақты нақты сандар тізбектері үшін орындалатын қасиеттер орынды. Егер және болса, онда , , ал блса, онда .

2-теорема (Коши критерийі). тізбегі жинақты болуы үшін ол тізбектің фундаментальді болуы қажетті және жеткілікті, яғни кез келген саны үшін саны табылып, барлық және нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса.

3-теорема (Больцано-Вейерштрасс). Кез келген шенелген тізбектен кемінде бір ақырлы шегі бар болатын тізбекше бөліп алуға болады.

4-теорема. Кеңейтілген комплекс жазықтығында кез келген тізбектен кемінде бір ақырлы, әлде ақырсыз шегі бар болатын тізбекше бөліп алуға болады.

Комплекс айнымалының функциясы

D – комплекс жазықтығында берілген облыс болсын (z комплекс сандардың жиыны). Егер әрбір нүктесіне қандай да бір заңдылықпен бір ғана комплек саны сәйкестендірілсе, онда D облысында z комплекс айнымалының бірмәнді функциясы анықталған дейді.

Комплекс айнымалының функциясын геометриялық тұрғыда қарастыру үшін жазықтығымен қатар нақты бөлігі u, ал жорамал бөлігі v болатын, комплекс айнымалының екінші жазықтығын қарастыру қажет. функциясы әрбір нүктесіне нүктесін сәйкес қояды. z нүктесі D облысында өзгергенде оған сәйкес w нүктесі облысындағы мәндерді қабылдайды.

Сонымен, комплекс айнымалының функциясы, геометриялық тұрғыда, D облысын облысына бейнелейді.

нүктесі жататын D облысының, мүмкін -ден басқа нүктелерінде, функциясы анықталсын.

А н ы қ т а м а. саны функциясының нүктесіндегі шегі деп аталады, егер кез келген саны үшін саны табылып, нүктесінің -маңайынан алынған, мүмкін нүктесінен өзге, барлық нүктелер үшін теңсіздігі орындалса.

А н ы қ т а м а. нүктесінің маңайында анықталган функциясы нүктесінде үзіліссіз деп аталады, егер болса.

Өзіндік бақылау жасау үшін сұрақтар

1. С тегі және дағы а) маңайдың; б) ойылған маңайдың анықтамаларын беріңіз.

2. С және -тің қандай нүктелері а) ішкі; б) шектік; в) шекаралық нүкте деп аталады?

3. а) Ашық жиынның; б) тұйық жиынның анықтамаларын беріңіз.

4. а)Тізбектің; б) тізбек шегінің анықтамаларын беріңіз.

5. Қандай тізбек жинақты деп аталады? Жинақты тізбектердің қандай қасиеттерін білесіз?

6. а) Шенелген тізбектің; б) шенелмеген тізбектің анықтамаларын беріңіз.

7. С тегі және дағы Больцано-Вейерштрасс теоремасын тұжырымдаңыз.

8. Коши критерийін тұжырымдаңыз.

9. Функцияның , функция шегінің анықтамасын беріңіз.

10. Функцияның нүктеде үзіліссіздігінің анықтамасын беріңіз.

11. Больцано-Коши теоремасын тұжырымдаңыз.

12. Кантор теоремасын тұжырымдаңыз.

3-тақырып. Комплекс айнымалының функциясын дифференциалдау

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. Нақты және комплекс анализдердiң мағынасында функцияның дифференциалдауы. Олардың байланысы: Коши-Риман шарты. Туынды және оның дифференциалдануымен байланысы.

2. Аналитикалық функция.

3. Туындының модулiнiң және аргументiнiң геометриялық мағынасы. Конформды бейне туралы ұғым.

4. Бүтiн сызықты және бөлшек-сызықты функциялар. Олардың қасиеттерi: бірбеттілік, конформдылық, дөңгелектік қасиеті. Дөңгелектi өзiне және жоғарғы жартылай жазықтықты дөңгелекке бейнелейтiн бөлшек-сызықты функциялардың жалпы түрi.

5. Дәрежелiк функция. Көрсеткіштік функция. Тригонометриялык функциялар. Олардың қасиеттері.

Дифференциалдану

бірмәнді функциясы нүктесінің маңайында анықталсын.

тәуелсіз айнымалы -тің маңайына тиісті өсімшесі болсын. өсімшесіне функцияның өсімшесі сәйкес келеді.

А н ы қ т а м а. Егер ақырлы шегі бар болса онда оны функциясының нүктедегі туындысы деп атап, символымен белгілейді.

функциясын нүктедесінде дифференциалданады деп атайды, егер ол нүктесінің маңайында анықталып, оның өсімшесі -ке қатысты сызықты және

-пен салыстырғанда жоғарғы ретті шексіз аз болатын шамалар қосындысы түрінде өрнектелсе, яғни ,

мұндағы шамасы -тен тәуелсіз, егер болса.

өрнегі функциясының нүктедегі дифференциалы деп аталады, мұнда . Дифференциал функция өсімшесінің сызықты, ал егер болса басқы бөлігі.

5-теорема. функциясы нүктедесінде дифференциалданады сонда, тек қана сол жағдайда, егер осы нүктеде функцияның туындысы бар болып, сонымен қатар болса.

6-теорема. нүктедесінде дифференциалданатын функция, сол нүктеде үзіліссіз.

7-теорема. (Коши – Риман шарттары). Комплекс айнымалы функциясы нүктесінің маңайында анықталған болсын. Осы функция нүктедесінде дифференциалданатын болуы үшін және функциялары нүктесінде дифференциалданатын болып, олар үшін (C.-R.)

шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті.

7-теореманың шарттары орындалған жағдайда туындысы келесі түрлердің бірімен анықталады: .

(C.-R.) шарттарын Коши-Риман шарттары деп атайды.

А н ы қ т а м а. D облысының кез келген нүктесінде дифференциалданатын функцияны аналитикалық немесе голоморфтық функция деп атайды.

Сонымен функция аналитикалық болуы үшін ол тек бір нүктеде ғана дифференциалданып қоймай, функция қарастырылып отырған нүктенің маңайында да дифференциалдануы керек. Сондықтан функция аналитикалық болатын нүктелер жиыны ашық.

Математикалық анализде қарастырылған элементар функциялар аналитикалық болады. Сонымен қатар гамма-функция, бессель функциясы, эллипстік функция тағы басқа да көптеген функциялар аналитикалық болады.

Аналитикалық функциялардың қосындысы, айырымы, көбейтіндісі және қатынасы аналитикалық функция болады. Аналитикалық функциядан алынған туынды мен интеграл да аналитикалық болады.

Егер - D облысының кез келген нүктесінде аналитикалық функция болса, онда оны D облысында регулярлы аналитикалық (немесе регулярлы, не голоморфты) деп атайды.

Бүкіл жазықтықта аналитикалық функция бүтін деп аталады.

Мысалы, дәре көрсеткіші натурал сан болатын бүтін. көпмүшелігі жазықтықтың кез келген нүктесінде дифференциалданады. рационал функцияның, мұндағы және - көпмүшелер, бөлімі нөл болмайтын нүктелерде туындысы бар. Сондықтан функциясы нөл болатын саны ақырлы нүктелерді алып тастаған облыста аналитикалық.

А н ы қ т а м а. функциясы D облысында гармониялық деп аталады, егер ол осы облыста анықталып, осы обылыста бірінші және екінші ретті үзіліссіз туындылары бар болып, D облысында Лаплас теңдеуін қанағаттандырса.

8-теорема. Аналитикалық функцияның нақты және жорамал бөліктері гармониялық функция болады.

Кері тұжырым дұрыс емес.

Нақты және жорамал бөліктері гармониялық функция болатын екі гармониялық функция –түйіндес гармониялық функциялар деп аталады.

9-теорема. және гармониялық функциялары аналитикалық

функцияның нақты және жорамал бөліктері болады сона, тек қана сонда, егер олар түйіндес гармониялық функциялар болса.

Конформды бейнелеу

Егер функцясы аналитикалық функция болса және D облысының бір г₀ нүктесінде оның туындысы нольден өзгеше болса, онда г₀ нүктесінің жсткілікті түрде алынған шағын аймағы ) нүктені қамтитын жазықтығының бір облысына өзара бірмәнді және үздіксіз болып бейнеленеді. Бұлай бейнеленгенде нүктесінен өтетін екі қисықтың арасындағы бүрыш өзінің шамасы бойынша да, бағыты бойынша да әлгі қистықтардың жазықтығындағы кескіндерінің арасындағы бұрышқа дәл келеді, ал бейнелердін нүктесіндегі сызықтық масштабы сол нүктесінен өтетін қисықтардың бәріне бірдей болады.

А н ы қ т а м а. Бұрыштың шамасын да, бағытын да өзгертпейтін және керу шамасы тұрақты болатын бейнелеу конформды бейнелеу деп аталады.

Конформдық бейнелеу теориясының негізіне төмендегі теоремалар жатады.

10-теорема. Туындысы нольден өзгеше, яғни болатын барлык, z нүктелерде аналитикалық функция арқылы жүзеге асырылатын бейнелеу конформдық бейнелеу болады және бұл бейнелеуде бұрылыс бұрышы болады, ал шамасы нүктелерін жазықтығының нүктелеріне бейнелегендегі созу коэффициенті болады.

11-теорема. Z жазықтығының, толық жазықтықтан немесе бір нүктесі шығарылып тасталған

жазықтықтан өзгеше, бір бір жүйелі D облысын жазьщтығының бір ғана дөңгелегіне өзара

бірмәнді және конформды түрде сансыз көп тәсілдермен бейнелеуге болады.

Еғер D облысының берілген нүктесі мен сондағы бір белгілі бағыт деңгелек ішіндегі бір

тиянақты нүкте мен бағытқа көшетіндей етіп сайлап алатын болсак, онда D облысы жоғарыда

айтылған дөң-гелекке бірмәнді түрде бейнеленеді.

12-теорема. Егер бірбайланысты облыстың шекарасы екі еселік нүктелері жоқ үздіксіз қисық

болса, онда облыстың дөңгелекке конформдық бейнеленуіндегі сәйкесгік шекараларға шейін өзара

бірмәнді болады.

Негізгі элементар функциялар

Дәрежелік функция , мұндағы - натурал сан.

Дәрежелік функциялар арқылы комплекс айнымалы -тен тәуелді көпмүшеліктер (немесе полиномдар) құрастыруға болады: , коэффиценттрі - кез келген комплекс сандар.

Көпмүшеліктерді басқаша бүтін рационал функциялар деп атайды.

Бөлшек-рационал (немесе рационал функция) , өзара жай екі көпмүшенің қатынасы түріндегі функция.

Рационал функция С жазықтықтың бөлімі нөлге тең емес нүктелерінде анықталған. Бөлімінің нөлдері функцияның оңашаланған айрықша нүктелері болады. Бөлшек-сызықты функциясы қарапайым бөлшек-рационал функция.

Рациональная функциядан басқа элементар функциялар, трансценденттік функциялар деп аталып, олар қатар қосындысы арқылы өрнектеледі.

Комплекс облыстағы көрсеткіштік функция периодты. Оның периоды . Шынында да, кез келген бүтін n үшін .

Тригонометриялық функциялар. Комплекс облыстағы және функциялары

,

фрмулалармен, ал және функциялары

и

фрмулалармен анықталады.

Тригонометриялық функциялар үшін нақты айнымалының тригонометриялық функцияларының көптеген қасиеттері сақталады. және функцияларының периоды , ал және периоды болады.

Нақты нүктелері функциясының нөлдері болатындықтан, осы нүктелерде функциясы анықталмаған. Осы сияқты функциясының нөлдері болатын нүктелерінде функциясы анықталмаған. Барлық тригонометриялық тепе-теңдіктер де сақталады. Бірақ комплекс облыстағы және функциялары шенелмеген.

Гиперболалық функциялар келесі фрмулалармен өрнектеледі:

, , яғни, .

Комплекс облыстағы логарифмдік функция көрсеткіштік функцияға кері функция ретінде анықталады, яғни, егер болса, онда болады. Егер және десек, онда болады. Осылардан және . Бірінші теңдңктен . Демек,

.

Сонымен, логарифмдік функция барлық және анықталған шексіз көп мәнге ие екендігін көреміз. болғандағы мәні логарифмнің басты мәні деп аталып, арқылы белгіленеді. Яғни, .

Өзіндік бақылау жасау үшін сұрақтар

1. Функцияның анықтамасын тұжырымдаңыз.

2. Нүктедегі үзіліссіз функцияның әр қайсысы сол нүктеде дифференциалданама?

3. Нүктедегі дифференциалданатын функция сол нүктеде үзіліссіз бола ма?

4. Функцияның туындының анықтамасын тұжырымдаңыз.

5. Коши – Риман шартын жазыңыз.

6. Туындының аргументі мен модулінің геметриялық мағынасы қандай?

7. Конформды бейнелеу деп қандай бейнелеуді атайды?

8. Комплекс айнымалы элементар функциялар қалай анықталады? Олардың нақты айнымалы функциялардан айырмашылықтары неде?

4-тақырып. Комплекс айнымалының функциясын интеграллдау

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. Интеграл, сызықтық және аддитивтік қасиеттері, айнымалыны ауыстыруға қарағанда инвариантылық. Ориентациялануы, интегралды бағалау.

2. Алғашқы функция. Алғашқы функцияның жалпы түрі. Интегралдық есептеудің негізгі леммасы. Алғашқы функцияның бар болуы туралы локальды теоремасы. Жол бойымен алынған алғашқы функция. Ньютон-Лейбниц формуласы .

3. Жай және құрама контурлар үшін Коши теоремасы. Кошидiң интегралдық формуласы.

4. Аналитикалық функцияның шексіз дифференциалдануы. Облыстағы аналитикалық функцияның алғашқы бейнесі.

Интеграл

жазықтығының D облысында үзіліссіз функциясы берілсін және - бас нүктесі ал, соңы нүктесі болатын, D облысында жатқан үзік жатық сызық болсын.

Онда комплекс айнымалы функциясынан қисыгы бойынша алынған интеграл екінші текті нақты екі қисық сызықты интеграл арқылы өрнектеледі:

,

13-теорема (Коши теоремасы). Егер функциясы, бірбайланысты D облысында аналитикалық болса, D облысында жатқан кез келген тұйық сызығы бойымен алынған интеграл нөлге тең

.

14-теорема (Кошидің интегралдық формуласы). D – облысы кез келген үзік жатық тұйық сызығы шенелген болып, - осы облыста аналитикалық болсын. Онда кез келген үшін

Кошидің интегралдық формуласы орынды.

15-теорема (Коши формуласы). 14-теореманың шарттары орындалған жағдайда функциясының D облысында барлық ретті туындылары болады және олар

,

формулалары бойынша анықталады.

Өзіндік бақылау жасау үшін сұрақтар

1. Комплекс облыстағы интегралды анықтау. Қасиеттері.

2. Интегралды есептеудің негізгі леммасын тұжырымдаңыз.

3. Алғашқы функцияның бар болуы туралы локальды теоремасы. Жол бойымен алынған алғашқы функция.

4. Ньютон-Лейбниц формуласы.

5. Жай және құрама контурлар үшін Коши теоремасын тұжырымдаңыз.

6. Кошидiң интегралдық формуласын жазыңыз.

7. Аналитикалық функцияның шексіз дифференциалдануы туралы теореманы тұжырымдаңыз.

5-тақырып. Аналитикалық функциялар қатары

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. Сандық қатардың жинақталуы, функционалдық қатардың нүктелі және бірқалыпты жинақталуы.

2. Функционалдық қатардың жинакталуының белгісі. Бірқалыпты жинақталатын қатардың мүшелеп интегралдану туралы теорема.

3. Коши-Адамар формуласы.

4. Голоморфты функцияның өз анықталы облысының әр нүктесінің маңайында Тейлор қатарымен бейнелеу туралы теорема.

5. Коши тенсiздiгi. Лиувилль теоремасы.

6. Дәрежелік қатардың қосындысының өз жинақталу дөңгелегінде голоморфты болатындығы туралы теорема. Голоморфты функциялардың шексіз рет дифференциалдану. Морера теоремасы.

7. Голоморфты функияның әртүрлі анықтамаларының қорытынды тізімі.

8. Жалғыздық теоремасы, голоморфты функциялардан құралған қатардың диффренциалдану туралы Вейерштрасс теоремасы.

Сандық қатарлар

Комплекс облыстағы қатарлар теориясы математикалық анализ курсындағы қатарлар теориясы сияқты құрылады.

Мүшелері комплекс сандар болатын

, (1)

қатары берісін.

, қатар мүшелері, ал —қатардың жалпы мүшесі деп аталады.

қосындыларын қатардың дербес қосындылары деп атайды.

А н ы қ т а м а. Егер сандық тізбегінің S-қа тең шегі бар болса, онда (1) қатары жинақталады, S саны (1) қатарының қосындысы дейді.

Бұл жағдайда «(1) қатары S санына жинақталады» деп те атайды. Қалған жағдайлардың әрқасысында, яғни тізбегінің , не ақырсыз шектері бар не ешқандай да шегі болмағанда, (1) қатары жинақталмайды, не жинақсыз дейді.

16-теорема (Қатар жинақтылығының қажетті шарты).

Егер қатары жинақталса, онда оның, жалпы мүшесінің шегі бар және нольге тең, яғни, .

С а л д а р (қатар жинақталмауының жеткілікті шарты). Егер қатардың.жалпы мүшесі нольге ұмтылмаса, онда қатар жинақталмайды.

Е.скерту. шарты қатар жинақталуының қажетті шарты бола тұрып, жеткілікті шарты емес: қатардың жалпы мүшесі нольге үмтылса да, қатар жииақталмауы мүмкін.

Теорема 17. Мүшелері комплекс сандар болатын қатары жинақталуы үшін, оның нақты және жорамал бөліктері болатын және қатарларының жинақталы қажетті және жеткілікті.

А н ы қ т а м а. (1) қатар абсолют жинақты деп аталады, егер оның мүшелерінің модульдерінен тұратын қатары жинақты болса.

Салыстыру белгісі. Егер барлық үшін болса онда жинақтылығынан жинақтылығы шығады.

Даламбер белгісі. Егер болып, болса (1) қатар абсолют жинақты, ал болса жинақсыз.

Функционалдық қатарлар

D облысында анықталған комплекс айнымалы функциялар тізбегінің мүшелерінен құралған мына өрнекті , ( 2)

функционалдық қатар деп атайды.

Бұл қатар белгілі бір нүктеде сандық қатарына айналады. Егер сандық қатары жинақты болса, онда (2) функционалдық қатар нүктеде жинақты деп атайды. Ал x₀-ді функционалдық қатардың жинақтылық нүктесі дейді. Функционалдық қатар жинақты болатын нүктелердің жиынын қатардың жинақтылық облысы деп атайды.

ақырлы қосындыны (2)-қатардың n-ші дербес қосындысы, ал D облысында анықталған

функциясын (2)-қатардың қосындысы деп атайды.

D облысында формуласымен анықталған функциясы қатардың n –і қалдығы деп аталады. Егер ұмтылғанда екендігі айқын.

Функционалдық қатардың әрбір нүктеде жинақталуын нүктелі жинақтылық деп атайды. (2)- қатар әрбір нүктеде жинақты, және оның қосындысы болсын.

Қандай шарттар орындалғанда аналитикалық функциялардан тұратын жинақты қатардың қосындысы да аналитикалық функция болады?

А н ы қ т а м а (бірқалыпты жинақтылық). (2) функционалдық қатар D облысында функциясына бірқалыпты жинақты деп аталады, егер кез келген саны үшін -тен тәуелсіз нөмірі табылып, үшін және барлық нөмірлері үшін

теңсіздігі орындалса.

Яғни, , онда , ,

1) Егер (2) қатар мүшелері D облысында үзіліссіз болып, қатар осы облыста бірқалыпты жинақты болса, онда оның қосындысы функциясы D облысында үзіліссіз болады.

2) Егер (2) қатар мүшелері D облысында үзіліссіз болып, қатар осы облыста бірқалыпты жинақты болса, онда

,

мұндағы - контуры D облысында жатқан кез-келген сызық.

3) Егер (2) қатар мүшелері D облысында аналитикалық болып, қатар осы облыста бірқалыпты жинақты болса, онда оның қосындысы -те D облысында аналитикалық болады және

,

мұнымен қатар функциялар туындыларынан тұратын қатар да D облысында бірқалыпты жинақты.

18-теорема. (бірқалыпты жинақтылықтың Вейерштрасс белгісі). Егер , қатары жинақты болып, D- дан алынған кез келген z және үшін болса, онда (2) қатар D жиыныда абсолютті және бірқалыпты жинақты.

Кез келген мүшесі дәрежелік функция болатын қатарды дәрежелік қатар деп атайды.

(3)

мұндағы -комплекс сандар, ал -комплекс айнымалы, - дәрежелік қатардың коэффициенттері.

болғанда (4)

қатарын аламыз.

Дәрежелік қатардың жинақтылық нүктелерінің жиынын қатардың жинақтылық облысы деп атайды.

Дәрежелік қатардың дербес қосындылары

-тен тәуелді функция болатындығы айқын. Сондықтан қатар қосындысы S те қатардың жинақталу облысында анықталған -тен тәуелді функция болады: .

19-теорема (Абель Нильс Хенрик (1802—1829) — норвег математигі).

1) Егер (4) дәрежелік қатар нүктеде жинақты болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген облыста ол қатар бірқалыпты және абсолют жинақты.

2) егер (4) дәрежелік қатар нүктеде жинақсыз болса, онда теңсіздігін қанағаттандыратын нүктелер жиынында ол қатар жинақсыз.

Абель теоремасы бойынша дәрежелік қатардың жинақтылық облысы дөңгелек болады.

Теріс емес R саны дәрежелік қатардың жинақтылық радиусы деп аталады.

Қатардың жинақтылық радиусын Даламбер және Коши белгілерін пайдаланып табуға болады.

1) ; 2) .

Дәрежелік қатардың негізгі қасиетттеін атап өтейік.

1) (3) қатар жинақтылық дөңгінің ішкі нүктелерінде еабсолюттіжинақты, яғни де.

2) Дәрежелік қатар өзінің жинақтылық дөңгінің ішіндегі кез келген дөңгелекте бірқалыпты және абсолют жинақты болады.

3) Жинақтылық дөңгінің ішінде дәрежелік қатардың қосындысы аналитикалық болады.

20-теорема. Егер функциясы нүктенін, аймағында бірмәнді аналитикалық функция

болса, онда ол осы нүктенің аймағында оң дәрежелер бойынша Тейлордың дәрежелік

қатарына жіктеледі. Бұлай жіктелгенде қатардың жинақтылық дөңгелегінің шеңбері функцияның а нүктесіне ең жақын г айырықша нүктесінен өтеді, онын, центрі а нүктесінде болады.

Жинақтылық радиусы былай өрнектеледі: .

Тейлор қатарының коэффициенттері мына формулалар бойын-ша есептеліп шығарылады:

21-теорема. (жалғыздық теоремасы). дөңгелегінде аналитикалық болатын кез келген функциясы осы дөңгелекте Тейлор қатарына жалғыз әдіспен жіктеледі.

Е с к е р т у. 1. Кез келген дәрежелік қатар оның қосындысының Тейлор қатары деп қарауға болады.

2. Аналитикалық функциялар, тек солар ғана дәрежелік қатарға жіктеледі.

Олай болса, дәрежелік қатарлар арқылы аналитикалық функцияға мынадай анықтама беруге болады:

Егер нүктесінің қандай да бір маңайында функциясы жинақты дәрежелік қатарға жіктетін болса, онда функциясын нүктесінде аналитикалық функция деп атайды.

Өзіндік бақылау жасау үшін сұрақтар

1. Қатардың дербес қосындысы дегеніміз не? Қатардың қосындысы дегеніміз не?

2. Қатардың жинақты болуының қажетті және жеткілікті шарттары қандай?

3. Коши критерийін тұжырымдаңыз.

4. Функционалдық тізбектің нүктелі және бірқалыпты жинақталуының анықтамасын беріңіз.

5. Функционалдық тізбектің бірқалыпты жинақталуының Коши критерийін тұжырымдаңыз.

6. Функционалдық тізбектің бірқалыпты жинақталуының Вейерштрасс белгісін тұжырымдаңыз.

7. Бірқалыпты жинақталатын қатардың қасиеттерін тұжырымдаңыз.

8. Коши-Адамар формуласын жазыңыз.

9. Тейлор қатырына жіктеудің жалғыздығы туралы теореманы тұжырымдаңыз.

10. Голоморфты функциялардан тұратын қатарды дифференциалдау туралы Вейерштрасс теоремасын тұжырымдаңыз.

6-тақырып. Лоран қатары. Қалындылар теориясы

Негізгі сұрақтар мен дәрістің қысқаша мазмұны

1. Лоран катары, оның жинақталу облысы. Сақинаның ішінде голоморфты функцияны Лоран қатарына жiктеу, жiктеудiң жалғыздығы.

2. Коэффиценттер формуласы. Коэффиценттер үшін Коши теңсіздігі.

3. Голоморфты функциялардың оңашаланған нүктелерi. Олардың Лоран қатары негізінде классификациялау. Сохоцкий теоремасы.

4. Қаландылар. Қалындылар туралы Коши теоремасы.

5. Полюске қатысты қалындыларды есептеу. Шексіз аластатылған нүктеге қатысты қалындыларды есептеу.

6. Меншіксіз интегралдарды қалындар көмегімен есептеу.

Дөңгелек ішінде аналитикалық функцияның Тейлор қатарына жіктелетінін көрдік. Көпшілік жағдайда нүктесінің өзінен басқа, ол нүктенің маңайындағы аналитикалық функцияларды қарастыруға тура келеді. Яғни, функциясы сақинада аналитикалық болсын. Осы функцияны көрсетілген облыста жіктеуде алынған қатар Лоран қатары деп аталады.

22-теорема (Лоран теоремасы). Егер функциясы сақина ішінде бірмәнді аналитикалық функция болса, онда ол осы сақинаның ішінде мына Лоран қатарына жіктеледі:

, (5)

Бұл қатарда айырманың оң дәрежелері де, теріс дәрежелері де бар.

Лоран қатарының коэфициенттері жалпы түрде келесі формуламен анықталады:

, (6)

мұндағы сызығы нүктесін қамтитын сақинда жатқан кез келген тұйық сызық.

• Лоран қатары екі қатар қосындысы арқылы өрнектеледі. Олардың біріншісі Лоран қатарының бас юөлігі, ал екіншісі дұрыс бөлігі деп аталады.

• Лоран қатары жинақтылық сақинасында абсолют жинақты болады.

• Лоран қатары жинақтылық сақинасының ішінде жататын кез келген тұйық сақинасында абсолют және бірқалыпты жинақты болады.

• Лоран қатарын толығымен жинақтылық сақинасының ішінде жататын кез келген контур бойынша мүшелеп интегралдауға; жинақтылық сақинасының ішінде мүшелеп, барлық ретті туындысын алуға болады.

• Лоран қатарына жіктеу жалғыз, яғни, егер функциясы сақинасында

қатарына жіктелсе, онда коэффиценттері (6) формуламен анықталады.

функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы аналитикалық функция болсын, яғни, функциясы нүктесінде не аналитикалық емес, не анықталмаған. Осындай нүктесі оңашаланған айрықша нүкте деп аталады.

Егер (5) қатардың бас бөлігінің барлық коэффиценттері нөлге тең болса, онда нүктесі жөнделетін айрықша нүкте деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

23-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының жөнделетін айрықша нүктесі болуы үшін шегінің бар болуы қажетті және жеткілікті.

Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырлы болса, онда оңашаланған айрықша нүктесі полюсом деп аталады. Бұл жағдайда болғанда

болады.

Осы жіктеудегі айырымының ең кіші дәрежесі болады. саны полюстің реті (немесе еселігі) деп аталады. Бірінші ретті полюс жай полюс деп аталады.

24-теорема. нүктесі функциясының -шы ретті полюсі болуы үшін ол нүктенің функциясының -шы ретті нөлі болуы қажетті және жеткілікті.

25-теорема. функциясы нүктесінің ойылған маңайында регулярлы функция болсын. Онда нүктесі функциясының полюсі болуы үшін болуы қажетті және жеткілікті.

Егер (5) қатардың бас бөлігіндегі нөлден өзге коэффиценттерінің саны ақырсыз (шексіз) болса, онда елеулі айрықша нүкте деп аталады.

Функцияның елеулі айырықша нүкте аймағындағы айтарлықтай толық сипаттамасын Сохоцкий теоремасы баяндайды.

26-теорема (Сохоцкий теоремасы). Егер - функциясының елеулі айрықша нүктесі болса, онда кез келген комплекс саны үшін, қоса есептегенде, нүктесіне жинақталатын тізбегі табылып, болады.

А н ы қ т а м а. нүктесі аналитикалық функциясының оңашаланған айрықша нүктесі болса, онда

, (7)

интегралының мәнін функцияның айрықша нүктесі бойынша алынған қалындысы деп атайды.

Мұндағы - нүктесін қамтитын, одан өзге айрықша нүктелерді қамтымайтын контур.

Коши теоремасы бойынша, барлық осындай контулары үшін (7) интегралдың мәні бірдей.

27-теорема (қалындылар туралы теорема). Егер функциясының контурының ішінде оңашаланған айрықша нүктелері болса, онда теңдігі орындалады.

28-теорема. Бірмәнді оңашаланған айрықша нүктесіндегі қалынды функциясының дегі Лоран қатарының коэффицентіне тең, яғни

.

29-теорема. - функциясының жай полюсі болсын. және . Онда -тің нүктедегі қалындысы келесідей анықталады:

.

30-теорема. - функциясының ретті полюсі болсын. Онда -тің нүктедегі қалындысы келесідей анықталады:

.

А н ы қ т а м а. функциясының нүктедегі қалындысы деп Лоран қатарындағы бірінші теріс дәреженің қарама-қарсы таңбамен алынған коэффицентін атайды, яғни .

Өзіндік бақылау жасау үшін сұрақтар

1. Сақинада голоморфты функцияны Лоран қатарына жіктеу туралы теореманы тұжырымдаңыз.

2. Лоран қатарына жіктеу коэффиценттерін анықтау формуласын жазыңыз.

3. Жіктеудің жалғыздығы туралы теореманы тұжырымдаңыз.

4. Қандай нүкте оңашаланған айрықша нүкте деп аталады?

5. Қандай нүкте жөнделетін айрықша нүкте деп аталады?

6. Қандай нүкте полюс деп аталады? Қандай полюс қарапайым деп аталады?

7. Қандай нүкте елеулі айрықша нүкте деп аталады?

8. Сохоцкий теоремасын тұжырымдаңыз.

9. Қалындының анықтамасын беріңіз. Қалындылар туралы Коши теоремасын тұжырымдаңыз.