Задача 5
Задано модулирующее напряжение (сигнал):
Uмод.(t) = UF∙cos(2π∙F∙ t), В
где: UF – амплитуда модулирующего сигнала, В;
F – частота модулирующего сигнала, Гц.
Требуется:
Привести математические выражения для модулированных напряжений
(сигналов) при однотональных частотной (ЧМ) и фазовой (ФМ) модуляциях.
Пояснить различие между ЧМ и ФМ.
2. Построить спектральную диаграмму сигнала с однотональной угловой модуляцией (УМ) при заданных значениях девиации фазы ∆φд (для ФМ) или девиации частоты ∆ƒд (для ЧМ) и частот несущего ƒ0 и модулирующего F сигналов. Амплитуда несущего сигнала Um = 10 В. Определить практическую ширину спектра модулированного сигнала.
3. Построить спектральные диаграммы однотональных ЧМ и ФМ сигналов при увеличении частоты модулирующего сигнала F в n раз. Определить, как изменятся при этом параметры ЧМ и ФМ сигналов, их спектральные диаграммы и ширина спектров. В каком случае спектры ЧМ и ФМ сигналов будут совпадать?
Значения ƒ0, F, ∆φд, ∆ƒд и n приведены в таблице 6.
Таблица 6
Последняя цифра номера варианта |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
∆φд, рад |
0,4 |
0,8 |
1,2 |
1,6 |
2 |
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
F, кГц |
60 |
55 |
50 |
40 |
35 |
30 |
25 |
20 |
15 |
5 |
∆ƒд, кГц |
24 |
44 |
60 |
64 |
70 |
120 |
200 |
240 |
240 |
100 |
Предпоследняя цифра номера варианта |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
ƒ0, кГц |
600 |
650 |
700 |
750 |
800 |
850 |
900 |
950 |
500 |
550 |
n |
2 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
2 |
4 |
Методические указания к задаче 5.
С материалом по угловой модуляции (ЧМ и ФМ) можно ознакомиться в литературе [1- c.96-99; 2- с.64-70; 4- с.96-103; 6- с.78-81, 91-93].
Следует разобраться в различиях между ЧМ и ФМ, уяснить смысл основных параметров модуляции, от чего они зависят, каково их максимальное значение. Отдельно следует разобраться со спектром сигналов угловой модуляции, его структурой, определением реальной ширины спектра. Эти вопросы хорошо и доступно изложены в [2] и [4]. Проработайте примеры 3.3 в [2] и 4.2 в [4].
Общие математические выражения и для однотональных сигналов с УМ приводятся в (3.13), (3.15), (3.16) [2] и в (4.20), (4.24), (4.26) [4].
Спектральное разложение сигналов с УМ приводится в (3.19) [2- с.67-68] и (4.32) [4- с.100]. Разберите пример 3.4, рисунки 3.10 и 3.11, таблицу 3.3 [2] и пример 4.3, рисунок 4.8, таблицу 4.1 [4].
Амплитуда каждой составляющей спектра определяется как:
Uк = Um∙Jк(m), В (5.1)
где: Jк(m)–значение функции Бесселя первого рода, к- го порядка от аргумента m.
Значения функции Бесселя можно найти по графику на рисунке 3.10 [2], по таблице 4.1 [4], в математическом справочнике [13], или по таблицам П.3- П.5 в приложении к методическим указаниям. При определении функций Бесселя существует рекуррентная формула для нахождения ее значений, не отображенных на графиках и в таблицах:
Jк+1(m) = (2к/m)∙Jк(m) – Jк-1(m). (5.2)
Следует учитывать, что для четных боковых составляющих (к = 2, 4, ...)
J-к(m)=Jк(m), а для нечетных боковых составляющих (к=1, 3, ...) J-к(m)=-Jк(m).
Следовательно, начальные фазы боковых составляющих с частотами ƒ0 + к∙F и
ƒ0 - к∙F совпадают, если к- четное число, и отличаются на 1800 (π радиан) если
к- нечетное число.
При определении практической ширины спектра можно пренебречь спектральными составляющими с амплитудами, меньшими чем (2–5)% от амплитуды несущего сигнала Um. Тогда практическая ширина спектра при угловой модуляции (ЧМ и ФМ), определяется числом гармонических составляющих, которое независимо от частоты модуляции равно [2, 4]:
- при m < 0,6 N = 2 + 1 = 3, (5.3)
- при m =0,6-10 N = 2∙(m+1) + 1, (5.4)
- при m > 10 N = 2m + 1. (5.5)