Пример. Решить разностное уравнение

при начальных условиях , , .

Решение. Характеристическое уравнение

.

Корни характеристического уравнения

, , .

Корни и - кратные. Общее решение линейного однородного уравнения

.

Постоянные , и определяются из заданных начальных условий

,

,

.

Таким образом, получаем систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных , и

,

ее решение , , .

Решение разностного уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным условиям

.

Ответ: .

Неоднородные уравнения.

Частное решение линейного неоднородного разностного уравнения (3) определяется видом его правой части, т.е. функцией . После того как найдено общее решение однородного уравнения (5) и затем частное решение неоднородного уравнения (3) можно записать общее решение линейного неоднородного разностного уравнения с постоянными коэффициентами

, (19)

которое зависит от постоянных .

Для определения этих постоянных нужно воспользоваться начальными условиями , ,…, . С учетом заданных начальных условий и решения уравнения (19) получим систему линейных уравнений (алгебраических) относительно постоянных . Найдя из этой системы уравнений значения этих постоянных, можно записать решение разностного уравнения, которое удовлетворяет заданным начальным значениям.

В зависимости от вида правой части разностного уравнения, т.е. функцией , возможны следующие случаи.

Случай 1. Правая часть дискретного разностного уравнения является полиномом независимой переменной степени .

. (13)

В этом случае частное решение линейного неоднородного уравнения (3) ищется в виде полинома той же степени .

, (14)

где коэффициенты , , подлежат определению. Коэффициенты , , определяются следующим образом:

<1> равенство (14) подставляется в исходное уравнение (3);

<2> в правой части полученного равенства выполняется группировка членов при одинаковых степенях ;

<3> приравниваются коэффициенты при одинаковых степенях независимой переменной .

В результате получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов , , . Решив ее относительно этих коэффициентов получим частное решение линейного неоднородного уравнения вида (14).

Случай 2. Правая часть дискретного разностного уравнения имеет вид

, (15)

где  - действительное число и не является корнем характеристического уравнения (6). В этом случае частное решение линейного неоднородного уравнения (3) ищется в виде

, (16)

где коэффициенты , , подлежат определению.

Алгоритм вычисления неопределенных коэффициентов аналогичен алгоритму для случая 1.

Случай 3. Правая часть дискретного разностного уравнения имеет вид

, (17)

где  - действительное число;  является корнем характеристического уравнения (6), причем его кратность равна .

Частное решение неоднородного уравнения (3) ищется в виде

, (18)

Алгоритм определения неопределенных коэффициентов , , аналогичен алгоритму для случая 1.

Пример. Решить разностное уравнение

,

при начальных условиях , .

Решение. Характеристическое уравнение

,

,

,

, .

Частное решение неоднородного уравнения

,

коэффициент подлежит определению:

,

Подставив последние равенства в исходное разностное уравнение, получаем

,

,

, ,

.

Общее решение однородного уравнения

,

общее решение линейного неоднородного уравнения

,

, , ;

, ,

.

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно постоянных и

, ,

, , ,

, .

Ответ: .