5.3 Выбор наименьших и наибольших элементов в массивах

Задачи этого типа постоянно встречаются в математической статистике, а также в различных технических и экономических расчетах.

Пример 5.6 В массиве экспериментальных данных t с числом элементов n, найти наименьшее значение min и определить его порядковый номер k в этом массиве.

Алгоритм решения этой задачи состоит в следующем. Первоначально принимаем за наименьший первый элемент массива, т.е. полагаем min=t₁ и k=1. Затем сравниваем с ним каждый очередной элемент, начиная со 2–го. Если очередной элемент t_i   min, пропускаем его и берем для проверки следующий, если же t_i <min, то за наименьший принимаем этот элемент, т.е. делаем переименовку : min=t_i , k=i. Продолжаем сравнивать следующие элементы массива t уже с этим новым значением min. Если встречается число еще меньше, снова производим переименовку : min=t_i , k=i и т.д. Последнее значение min после окончания просмотра всего массива и будет наименьшим его элементом, а значение k определит его порядковый номер в массиве.

Соответствующий фрагмент программы в предположении, что массив t находится в памяти ЭВМ, может иметь вид :

min:=t[1];

k:=1;

for i:=1 to n do

begin

if t[i]<=min then

begin

min:=t[i]; k:=i;

end;

end;

writeln(min,k);

{ продолжение программы }

Очевидно, если знак <= в операторе if заменить на >=, то получим фрагмент программы определяющей наибольший элемент массива. В этом случае, разумеется, логично заменить имя min на max. Если нас интересует лишь сама величина наименьшего или наибольшего элемента, а его место в массиве безразлично, то приведенный фрагмент упрощается удалением оператора k:=i.

Возможно в одном цикле одновременно определять наименьший и наибольший элементы. Покажем это на примере двумерного массива.

Пример 5.7. В матрице X(m n) найти наименьший элемент min и наибольший max и определить индексы каждого из них. Если обозначить индексы наименьшего и наибольшего элементов матрицы соответственно k₁ ,l₁ и k₂ ,l₂ , то задача может быть решена следующим фрагментом :

k1:=1; l1:=1; k2:=1; l2:=1; min:=X[1,1]; max:=X[1,1];

for i:=1 to m do

begin

for j:=1 to n do

begin

if X[i,j]<min then

begin

min:=X[i,j]; k1:=i; l1=j;

end

else if X[i,j]>max then

begin

max:=X[i,j]; k2:=i; l2:=j;

end

end;

end;

writeln('min=',min,' i=',k1,' j=',l1);

writeln('max=',max,' i=',k2,' j=',l2);

5.4 Вычисление статистических характеристик массивов

В практике массивами чаще всего представлены результаты каких–либо экспериментов или данные статистической отчетности предприятий. В таких случаях типовыми задачами обработки массивов являются вычисления их так называемых статистических характеристик. Важнейшими и наиболее употребительными из этих характеристик являются: среднее арифметическое, дисперсия и среднеквадратичное отклонение. Для массива x_i (i = 1..n) эти величины вычисляются соответственно по формулам :

Как следует из этих выражений, основной объем работы при определении этих величин, связан с вычислением двух сумм :

и поэтому фрагмент программы вычисления указанных статистических характеристик, обозначенных соответственно xsr, dis, sko, может быть следующим :

s1:=0; s2:=0;

for i:=1 to n do

begin

s1:=s1+x[i];

s2:=s2+s2+sqr(x[i]);

end;

xsr:=s1/n; dis:=(s2/n–sqr(xsr))*n/(n–1); sko:=sqrt(dis);

writeln; write('xsr=',xsr,' dis=',dis,' sko=',sko);

Кроме среднего арифметического иногда используются еще три вида средних величин, вычисляемых по формулам:

среднее квадратическое (оно не равно среднеквадратическому отклонению)

;

среднее геометрическое

;

среднее гармоническое

.

Вычисление этих величин сводится в конечном итоге к вычислению соответствующих сумм и произведения и не представляет труда.