1.9.1 Корневые критерии устойчивости

Как следует из рисунков 1.9.1-1.9.3, у_с не равен тождественно нулю, тогда из (5) следует

D(p)0 . (1.9.1.1)

Уравнение (1) называется характеристическим уравнением, соответствующим уравнениям (1) и (5). Пусть это уравнение будет n-го порядка, тогда оно имеет n корней р₁, р₂,…, р_n. Если коэффициенты a₀, a₁,…,a_n — действительные, то корни уравнения (1) могут быть действительными и комплексными (комплексно-сопряженными).

.

Корни могут быть простыми (нет им равных) и кратными (равными). Кратность это количество равных корней. Если корни простые то решение уравнения (5) можно представить в виде

, (1.9.1.2)

где с₁, с₂,…, с_n — постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий,

р₁, р₂,…, р_n — простые корни характеристического уравнения. В выражении (2) каждое слагаемое называется модой. Рассмотрим две моды, соответствующие паре комплексно-сопряженных корней.

. (1.9.1.3)

С помощью формулы Эйлера уравнение (3) можно представить в виде

, (1.9.1.4)

где А_к, _к — новые постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

На рис. 4 представлены различные виды переходных процессов моды (4) в зависимости от вида корней, соответствующих данной моде.

_k>0, _k<0, y_ck

Рисунок 1.9.4

На основании рисунка 4 можно констатировать следующее.

Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения были отрицательными.

Для того чтобы система была неустойчивой, достаточно, чтобы хотя бы у одного корня действительная часть была положительной.

Для того чтобы система была гранично устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы у части корней действительные части были равны нулю, причём среди этих корней не должно быть кратных, а у остальных корней действительные части должны быть меньше нуля.

В случае наличия кратных корней (например, p₁= p₂= p₃= p_1-3) вместо выражения (2) будет выражение (5).

. (1.9.5)

Выражение (5) позволяет заключить, что при мнимом корне p_1-3 нулевое решение будет неустойчивым за счет выражения в скобках.

Сформулируем приведенные критерии в геометрическом виде. На рис. 5 изображена плоскость корней, где крестиками обозначено расположение корней. С помощью этого рисунка приведенные критерии можно продемонстрировать следующим образом:

Рисунок 1.9.5 Расположение корней.

Для того чтобы система была асимптотически устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости.

Для того чтобы система была неустойчивой, достаточно, чтобы хотя бы один корень находился в правой полуплоскости.

Для того чтобы система была гранично устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы часть корней находилась на мнимой оси, причём, среди этих корней не должно быть совпадающих, а остальные корни должны лежать в левой полуплоскости.

1.9.2 Коэффициентные критерии устойчивости

Как следует из предыдущего пункта, устойчивость или неустойчивость системы зависит от корней характеристического уравнения, в свою очередь, корни зависят от коэффициентов характеристического уравнения, поэтому естественно желание найти критерии устойчивости без расчёта корней, рассматривая непосредственно коэффициенты характеристического уравнения.

Среди большого количества коэффициентных критериев устойчивости будем рассматривать два:

1) критерий о необходимых условиях устойчивости;

2) критерий Рауса-Гурвица.