1.8 Передаточные функции замкнутых сау

Составим структурную схему, соответствующую функциональной схеме на рисунке 0.1.

─

Рисунок 1.8.1.Структурная схема.

На рис. 1

W_н(p) – передаточная функция объекта управления по нагрузке,

W₀(р) – передаточная функция объекта управления по управляемому сигналу u,

W_СРП(р) – передаточная функция счетно-решающего прибора,

W_дс(р) – передаточная функция датчика скорости.

Стандартной структурной схемой является схема, приведенная к единичной ОС. Приведём схему рис. 1 к единичной ОС.

─

Рисунок 1.8.2. Структурная схема с единичной обратной связью.

На рис.2

W(p)=W_р(p)·W₀(p) — передаточная функция разомкнутой системы,

g — задающее воздействие, равное желаемому значению выходного сигнала у, (имеет ту же размерность, что иу). – ошибка системы.

x=g-y —. (1.8.1)

Устойчивость или неустойчивость САУ, а так же её точность, в основном, определяются замкнутым контуром. Поэтому звено с передаточной функцией W^-1_дс(p) не рассматривается.

Получим передаточную функцию замкнутой САУ. Из рисунка 2

. (1.8.2)

Если из системы уравнений (1) и (2) исключить х, то получим

. (1.8.3)

Если из уравнений (1), (2) исключить у, тогда

. (1.8.4)

Выражения (3), (4) записаны для замкнутой САУ. Из этих выражений можно записать следующие передаточные функции замкнутой САУ:

передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию (главный оператор)

, (1.8.5)

передаточная функция замкнутой САУ по ошибке от задающего воздействия

, . (1.8.6)

Передаточная функция замкнутой САУ по нагрузке

. (1.8.7)

Найдём выражения для передаточных функций САУ с неединичной ОС, представленной на рис.3

—

Рисунок 1.8.3.Структурная схема с неединичной обратной связью.

.

Передаточной функцией замкнутой САУ по ошибке будет

(1.8.8)

Формула (8) совпадает с формулой (6), полученной для единичной обратной связи.

Закон, в соответствии с которым функционирует система управления, выраженный в математической форме, называется законом (алгоритмом) управления.

1.9 Устойчивость движения непрерывных линейных сау

САУ описывается системой дифференциальных уравнений. Если в системе имеются только один вход и один выход, то систему можно преобразовать к одному дифференциальному уравнению того же порядка, что и вся система. Пусть это дифференциальное уравнение записано в операторном виде (1)

, , (1.9.1)

где y — выходной сигнал;

x — входной сигнал;

D(p), R(p) — полиномы (многочлены) оператора дифференцирования р.

Пусть

(1.9.2)

Уравнение (1) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение состоит из двух слагаемых: частного решения (у_ч) и общего решения соответствующего однородного уравнения (у₀), т.е.

y=y₀+y_ч.

В ТАУ общее решение называется собственным решением (движением), частное решение называется вынужденным решением (движением).

y=y_c+y_в. (1.9.3)

Вынужденное решение удовлетворяет уравнению

. (1.9.4)

Вычитая (1) из (4), найдём уравнение собственных движений

. (1.9.5)

Уравнение (5) называется однородным уравнением для уравнения (1). Устойчивость или неустойчивость линейных САУ определяется только уравнением (5).

Будем различать 3 категории устойчивости:

1 — асимптотическая устойчивость,

2 — неустойчивость,

3 — граничная устойчивость.

Система называется асимптотически устойчивой, если при всех начальных условиях

. (1.9.6)

Система называется неустойчивой, если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при которых

. (1.9.7)

Система называется находящейся на границе устойчивости (гранично устойчивой), если имеется хотя бы одно сочетание начальных условий, при котором у_с не стремится ни к нулю ни к бесконечности, а при других начальных условиях выполняется условие (6).

Рис. 1.9.1 Асимптотическая устойчивость Рис. 1.9.2 Неустойчивость

Рис. 1.9.3 Граничная устойчивость