1 Линейные системы управления

1.1 Линеаризация нелинейных уравнений

На практике все системы управления нелинейные, однако в некоторых случаях нелинейности настолько малы, что их эффект мал, или при больших нелинейностях система работает на линейных участках.

Процесс замены нелинейных уравнений близкими к ним по динамическим свойствам линейными уравнениями называется линеаризацией.

Существует несколько приёмов линеаризации. В данном подразделе рассматривается линеаризация, в основе которой лежит разложение нелинейностей в ряд Тейлора. Ниже дается упрощенная процедура линеаризации.

Пусть дана функция

z=x·y. (1.1.1)

Предполагается, что система работает в режиме стабилизации, т.е.

z=z₀ , x=x₀ , y=y₀ . (1.1.2)

В установившем режиме

z₀=x₀*y₀. (1.1.3)

В действительности имеют место отклонения от точки (2), т.е.

z=z₀+z_ , x=x₀+x_ , y=y₀+y_. (1.1.4)

Предполагается что z_, x_, y_ на порядок меньше z₀, x₀, y₀.

Подставим (4) в (1). Тогда

z₀+z_=(x₀+x_)(y₀+y_)=x₀y₀+x₀y_+x_y₀+x_y_. (1.1.5)

Последним слагаемым в (5) вследствие малости можно пренебречь.

Вычтем из (5) (3). Получим

z_=x₀y_+x_y₀. (1.1.6)

Уравнение (6) линейно относительно новых переменных z_, x_, y_.

Геометрический смысл линеаризации представлен на рис 1.1.1.

Линеаризация путём разложения в ряд Тейлора представляет собой перенос начала координат из т. О в т. О₁, и переходу от переменных х, у к новым переменным x_;y_. В этом случае нелинейная функция АВ заменяется на касательную, проведенную в т. О₁

x

Рисунок 1.1.1. Геометрический смысл линеаризации.

1.2 Две формы записи линейных дифференциальных уравнений

Пусть дано уравнение

a₀ÿ + a₁+ a₂y = b₀x + b₁+ cf, (1.2.1)

.

Введём обозначение оператора дифференцирования .Тогда

=pу, =p²y, =p³y. (1.2.2)

Найдем оператор интегрирования или = х, или py = x, откуда .

—оператор интегрирования.

Запишем уравнение (1) в операторном виде

(a₀p²+a₁p+a₂)y=(b₀+b₁p)+cf. (1.2.3)

Первая форма записи

В первой форме выходная переменная записывается в одной части уравнения, а входные переменные в другой части уравнения, причём коэффициент при самой выходной переменной ( у ) должен быть равен единице. Введем обозначения

.

Тогда уравнение (1) и (3) перепишутся в виде

T₁²+T₂+y=m₀x+m₁x+nf, (1.2.4)

(T₁²p²+T₂p+1)y=(m₀+m₁p)x+nf. (1.2.5)

D(p)

В первой форме записи коэффициенты Т₁, Т₂ при любых физических переменных у имеют размерность времени. Это обеспечивает универсальность данной формы записи.

Коэффициенты m₀ , m_1, n называют коэффициентами передачи. Если коэффициенты m_{0 ,} n безразмерные, то они называются коэффициентами усиления. Коэффициенты Т₁, Т₂ называются постоянными времени. Коэффициент Т₁, стоящий при старшей производной, характеризует инерционность звена, чем больше Т₁ , тем более инерционные процессы.

Вторая форма записи

Решим уравнение (5) относительно выходной переменной у

y=y₁+y₂=W₁(p)x+W₂(p)f, (1.2.6)

где

(1.2.7)

y₁=W₁(p)x , y₂=W₂(p)f , (1.2.8)

(1.2.9)

W₁,W₂ — передаточные функции.

Передаточная функция равна отношению выходного сигнала к входному. Если использовать преобразование Лапласа, то передаточная функция равна отношению преобразованного по Лапласу выходного сигнала к преобразованному по Лапласу входному сигналу при нулевых начальных условиях. Передаточная функция показывает какие математические операции надо проделать с входным сигналом, чтобы получить выходной сигнал. Уравнение (6) представляет собой вторую форму записи дифференциального уравнения (1), то есть запись через передаточные функции.

Вторая форма записи позволяет представить дифференциальное уравнение и системы дифференциальных уравнений в графическом виде.Для этого вводятся следующие графические обозначения:

Сумматор Компаратор

Рисунок 1.2.1.

Уравнение (6) в графическом виде будет выглядеть так:

Рисунок 1.2.2. Структурная схема уравнения (1).