2.4 Z-преобразование (дискретное преобразование Лапласа).

Выше разностные уравнения были получены из дифференциальных уравнений приближённым методом с помощью конечных разностей. Для получения точных разностных уравнений используется z-преобразование или дискретное преобразование Лапласа. Если для непрерывных систем используется обычное преобразование Лапласа

, (2.4.1)

то дискретное преобразование Лапласа в безразмерном времени имеет вид

(2.4.2)

В размерном времени

(2.4.3)

Функция f[nT₀] называется оригиналом, а F[z] её z–отображением, Z – символ преобразования.

С помощью z-преобразования разностные уравнения приводятся к алгебраическим уравнениям, которые решаются гораздо легче, чем разностные, а затем к полученным решениям применяют обратное z-преобразование, которое обозначается так:

, (2.4.4)

в результате чего получаем разностные уравнения.

Найдём преобразования простейших функций времени.

1) единичная ступенчатая функция

.

Последнее выражение представляет собой геометрическую прогрессию.

2) линейная функция времени

.

Аналогичным образом можно найти z-отображения и других функций времени.

Для решения разностных уравнений надо находить z-отображения не только для функций времени, состоящих в правой части уравнения, а и для искомых функций, которые обычно записываются в левых частях разностных уравнений.

Для их преобразования используют ряд свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Некоторые основные свойства z–преобразования.

1) свойство линейности:

(2.4.5)

2) теорема сдвига.

Если временное запоздание  равно целому числу m тактов счёта Т₀,

(2.4.6)

— формула сдвига вправо.

(2.4.7)

— формула сдвига влево.

3) Изображение прямых и обратных разностей.

(2.4.8), (2.4.9)

4) Теорема о начальном и конечном значении оригинала.

(2.4.10), (2.4.11)

5) Теорема свёртки.

, (2.4.12)

где (2.4.13)

6) Обратное z-преобразование.

Обратное z-преобразование позволяет найти оригинал y[nT₀] по его z-отображению Y(z). Это преобразование обозначается так:

. (2.4.14)

Существует несколько методов обратного z-преобразования:

а) метод неопределённых коэффициентов.

Пусть F(z) найдено в виде

(2.4.15)

Пусть знаменатель имеет l простых корней: z₁,z₂,…,z_l, тогда его можно представить в виде

т.е. выражение (5) можно представить в виде:

, (2.4.16)

где N₁,N₂,…,N_l — неопределённые коэффициенты. Приравняв (15) и (16), предварительно (16) приведя к общему знаменателю, и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях z в числителях, получим систему алгебраических уравнений, из которых можно определить N₁,N₂,…,N_l. В результате сложная функция (15) заменена на сумму элементарных функций (16).

б). с использованием ряда Лорана.

Решение алгебраического уравнения, полученного с помощью z-преобразования, можно представить в виде

(2.4.17)

Будем отыскивать разложение этого выражения в виде ряда Лорана:

(2.4.18,19)

где С₀,С₁,…, — неизвестные коэффициенты;

Для нахождения С₀,С₁,…, приравняем выражения (17) и (18), приведём полученное равенство к общему знаменателю и в числителях правых и левых частей приравняем коэффициенты при одинаковых степенях z. В результате получим систему алгебраических уравнений для определения неизвестных коэффициентов С_i. Сравнивая выражение (2) с выражением z-преобразования

(2.4.20)

получим c_i=y[i] или c₀=y[0], c₁=y[Т₀], c₂=y[2Т₀], … .с_i, являются значениями искомой функции в различные моменты времени.