9.4. Алгебра коммутаторов.

9.4.1. Основные свойства.

Коммутаторы наблюдаемых появляются в различных конкретных вопросах квантовой механики. Они входят в формулировки теорем (см. например, предложение 1 п. 9.3.4), в различные уравнения и т.п. Если мы рассматриваем две динамические переменные 𝒜 = 𝐴(𝑞, 𝑝), = 𝐵(𝑞, 𝑝) и сопоставляемые им по постулату (а) эрмитовы операторы 𝐴 и 𝐵, то вместо [𝐴, 𝐵] мы будем писать также [𝒜, ] или [𝐴(𝑞, 𝑝), 𝐵(𝑞, 𝑝)], например, [𝑞_𝑖, 𝑝_𝑖] вместо и т.п. При этом, правда, нельзя забывать в каждом конкретном случае все о том же вопросе о неоднозначности сопоставления динамической переменной 𝒜 эрмитова оператора 𝐴 (мы скоро вернемся к этому вопросу).

Предложение 1. Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶 – линейные операторы. Тогда:

[𝐴, 𝐵] = -[𝐵, 𝐴]; (43)

[𝐴, 𝐵+ 𝐶] = [𝐴, 𝐵]+ [𝐴, 𝐶]; (44)

[𝐴, 𝐵𝐶] = [𝐴, 𝐵]𝐶 + 𝐵[𝐴, 𝐶]; (45)

[𝐴, [𝐵, 𝐶]] +[𝐵, [𝐶, 𝐴]] +[𝐶, [𝐴, 𝐵]] = 0 (46)

(45’)

Доказательство. Свойства (43)-(46) проверяются непосредственно, а (45’) следует из (45).

Предложение 2.

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

Доказательство. Доказываем при помощи предложения 1.

Возвращаясь к вопросу о неоднозначности сопоставления 𝒜⟶𝐴, мы видим, что согласно предложению 2 можем решить его, предположив вперед, что функция 𝐴(𝑞₁, . . . , 𝑞_𝑠; 𝑝₁, . . . , 𝑝 _𝑠) записана в виде полинома или ряда по степеням 𝑝₁, . . . , 𝑝_𝑠 с коэффициентами – функциями только от 𝑞₁, . . . , 𝑞_𝑠. В этом случае, в частности, имеют место равенства

(53)

(54)

9.4.2 Изменение статистического распределения во времени. Интегралы движения.

Рассмотрим уравнение Шредингера и сопряженное ему уравнение

, (55)

Пусть 𝛹 нормирована на 1 при 𝑡 = 𝑡₀. Тогда она остается нормированной на 1 и при остальных 𝑡, а среднее значение наблюдаемой 𝐴 в любой момент 𝑡 задается равенством:

(56)

Дифференцируя это равенство по 𝑡 и учитывая уравнения Шредингера (55) и эрмитовость гамильтониана, получаем:

. (57)

Мы получили уравнение

. (58)

Это – общее уравнение эволюции среднего значения наблюдаемой 𝐴. Ему удовлетворяет и среднее значение оператора 𝑒^𝑖𝜉𝐴, то есть характеристическая функция статического распределения наблюдаемой 𝐴 (см. п. 9.3.3):

(59)

Если наблюдаемая (оператор) 𝐴 явно от времени не зависит, то второй член справа в уравнении (58) равен нулю. Если наблюдаемая 𝑐 коммутирует с 𝐻 и явно от времени не зависит, то (при 𝐴 = 𝑐) в ноль обращаются оба слагаемых справа в (58), и мы получаем:

(60)

Итак: если наблюдаемая 𝑐 коммутирует с гамильтонианом и не зависит явно от времени, то остаются постоянными во времени и среднее значение , и характеристическая функция распределения наблюдаемой c, и, следовательно, само это распределение. Такую наблюдаемую называют интегралом движения или постоянной движения, поэтому мы можем еще сказать: если наблюдаемая коммутирует с гамильтонианом и не зависит явно от времени, то этого достаточно, чтобы она была интегралом движения. В частности, если гамильтониан явно от времени не зависит, то (так как он коммутирует, разумеется сам с собой) он – интеграл движения. Так как гамильтониан, не зависящий от 𝑡 явно, имеет смысл энергии, то этот интеграл называют интегралом энергии.