9.3.3. Статистическое распределение, сопоставляемое динамической переменной.

Теперь мы готовы определить статистическое распределение для динамической переменной . Как мы знаем, это можно сделать, в частности, определив не само распределение, а его характеристическую функцию , которая, по определению, есть среднее значение величины .

Пользуясь постулатом (б), полагаем:

. (28)

Пользуясь формулами (17), (26), (20), отсюда получаем:

, (29)

где

, (30)

причем из равенства Парсеваля следует, что

(31)

Формулы (29), (31) (в математической статистике) означают, что случайная величина (определяемая характеристической функцией ) принимает только дискретные значения с вероятностями (этот результат, в частности, является обобщением принципа спектрального разложения п. 6.5).

Кроме этого получаем:

1. ,

, (32)

2. Для того, чтобы динамическая переменная достоверно принимала какое-то значение (и это будет ) необходимо и достаточно, чтобы была собственной функцией этого значения (это находится в согласии с предложением 1 п. 9.2).

Представим теперь разложение (17) в виде

, (33)

где

. (34)

Можно показать, что не зависит от выбора системы ортонормированных функций , поэтому (33) представляет единственным образом в виде суперпозиции собственных функций оператора , принадлежащих различным собственным значениям.

Ясно, что (см. (34), (30), (20)):

. (35)

9.3.4. Коммутирующие наблюдаемые и совместные переменные. Полные наборы коммутирующих наблюдаемых. Чистые и смешанные состояния.

Не все эрмитовы операторы имеют полную ортонормированную систему собственных функций. Формализм волновой механики предполагает, что все физические величины, рассматриваемые в его рамках, представляются операторами, обладающими такой системой. Эти операторы называют наблюдаемыми. Доказательство, что A – наблюдаемая, не обязательно простая математическая задача.

Пусть наблюдаемые A, B, соответствующие динамическим переменным имеют общую собственную функцию :

,

(36)

Физический смысл (36) таков, что если в данный момент система (в эксперименте, например) находится в состоянии , то точное измерение с достоверностью приведет к значениям a и b соответственно.

Коммутатором двух операторов называют оператор .

Легко видеть, что условие

(37)

является необходимым для того, чтобы имели общей соответственной функцией. Действительно, умножая первое и второе равенства (36) на B, A соответственно, получаем:

,

Условие (37) выполняется отнюдь не всегда. Например, если , , то , и (что находится в согласии с неравенством Гейзенберга).

Для коммутирующих наблюдаемых ( ) условие (37) очевидно выполняется. Для таких наблюдаемых можно доказать важный результат .

Предложение 1. Если все наблюдаемые попарно коммутируют, то они обладают общей полной ортонормированной системой собственных функций и наоборот. Всякая вещественная функция этих наблюдаемых есть наблюдаемая, коммутирующая с каждой из них и обладает общей с ними полной ортонормальной системой собственных функций.

Доказательство. (см. стр. 199-201 т. 1 «Квантовая механика» Мессиа).

Если динамическим переменным (в эксперименте, например) системы соответствуют попарно коммутирующие операторы , то согласно предложению 1 физически это означает, что могут быть одновременно точно измерены. Такие переменные называются совместными.

Из собственных функций наблюдаемой можно образовать полную ортонормированную систему собственных функций, которую будем называть базисной системой наблюдаемой . Вообще говоря, базисная система у наблюдаемой не единственная. Две базисные системы и считают эквивалентными, если и для каждой пары отличаются разве лишь фазой. Из свойства 2 п. 9.3.1 следует, что если все собственные значения наблюдаемой невырожденные, то ее базисная система единственна в том смысле, что все ее базисные системы эквивалентны.

Если у наблюдаемой есть вырожденные собственные значения, то ее базисная система неединственна. Если к добавить еще одну наблюдаемую , коммутирующую с , то их общая базисная система (существующая согласно предложению 1) может оказаться единственной. Если это не так, то добавляя последовательно , мы возможно придем к набору попарно коммутирующих наблюдаемых, которые обладают единственной общей базисной системой. Такой набор попарно коммутирующих наблюдаемых, обладающих общей базисной системой, называют полным.

Если - полный набор коммутирующих наблюдаемых, то любая наблюдаемая , коммутирующая с ними всеми, обладает той же базисной системой, поэтому ее собственные значения выражаются через собственные значения наблюдаемых полного набора, то есть эта наблюдаемая может рассматриваться как функция наблюдаемых полного набора.

Физический смысл полного набора коммутирующих наблюдаемых в том, что набор соответствующих им переменных может быть одновременно точно измерен. Говорят, что в этом случае образуют полный набор совместных переменных. Если осуществляется одновременное точное измерение значений этих переменных, то волновая функция системы является собственной функцией наблюдаемых , принадлежащей собственным значениям , обнаруженным в результате измерения. Так как существует только одна собственная функция, обладающая этим свойством, то эти измерения полностью определяют волновую функцию физической системы. Говорят, что динамическое состояние физической системы полностью определяется заданием квантовых чисел .

В рамках сказанного, реализацию физического эксперимента описывают так. В начальный момент мы «приготовляем» систему, выполняя одновременное измерение полного набора совместных переменных, и тем самым определяем динамическое состояние системы в этот момент, то есть начальные данные для уравнения Шредингера, из которого уже можно найти в любой момент вплоть до момента измерения. Производя измерение в момент , мы получаем экспериментальные значения для наблюдаемых . Производя этот эксперимент на большом числе тождественных систем, можно получить экспериментальные распределения для наблюдаемых и сравнить их с теоретическими.

Если измеряемые в начальный момент динамические переменные не составляют полного совместного набора (то есть если «приготовление» системы не может быть осуществлено), то прибегают к статистическим методам (соответствующий раздел квантовой механики называют квантовой статистикой). Если «приготовление» возможно, и значит, динамическое состояние системы известно точно, то говорят о чистом состоянии системы, в противном случае говорят о смешанном состоянии системы.

В случае смешанного состояния предполагают, что состояние в момент может быть описано статистической смесью волновых функций, то есть совокупностью волновых функций и их статистических весов при .

Пусть

(38)

- решения уравнения Шредингера, соответствующие начальным значениям

(39)

В момент система представляется ансамблем (38) с теми же статистическими весами . Пусть обозначает среднее значение результатов измерения динамической величины , когда система находится в состоянии , то есть

. (40)

Тогда среднее значение результатов измерения при статистической смеси состояний в момент дается формулой

(41)

Аналогично, если обозначает вероятность получить результатом измерения при динамическом состоянии , а - вероятность получить это при измерении на смеси, то

(42)