10.13. График функции распределения
Из свойств функции распределения следует:
График расположен в полосе, ограниченной прямыми y=0 и y=1;
При возрастании х в интервале (a,b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график “поднимается вверх”;
При х ≤ a ординаты графика равны нулю; при х ≥ b ординаты графика равны единице.
График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
F(x)
1
a b x
10.14. Функцию распределения вероятностей случайной величины называют интегральной функцией.
По функции распределения вероятностей трудно судить о характере распределения в небольшой окрестности точки числовой оси. Для этого удобнее пользоваться плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.
10.15. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x):
f(x) = F′(x).
Функцию f(х) называют дифференциальной функцией.
10.16. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (а, b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:
Р(а
< X < b) =
f(x)dx
.
Если известна плотность распределения f(x), то функция распределения F(x) находится по формуле:
F(x)
=
f(x)dx.
10.17. Плотность распределения обладает следующими свойствами:
плотность распределения – неотрицательная функция:
f(x) ≥ 0.
Геометрически это свойство означает, что точки, принадлежащие графику плотности распределения, расположены либо над осью ОХ, либо на этой оси;
несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до ∞ равен единице:
f(x)dx
= 1.
Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
f(x)dx
= 1.
10.18. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку
[a, b], называется определенный интеграл:
M
(X)
=
x
f(x)dx
Если возможные значения принадлежат всей оси ОХ, то
М(X)
=
f(x)dx.
Все свойства математического ожидания, указанные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных величин.
Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством:
D(X) = [x – M(X)]2 f(x)dx,
или D(X) = x2 f(x)dx – [M(x)]2.
Если все возможные значения Х принадлежат интервалу (a, b), то
D(X) = [x – M(X)]2 f(x)dx,
или D(X) = x2 f(x)dx – [M(X)]2.
Все свойства дисперсии, указанные для дискретных случайных величин сохраняются и для непрерывных величин.
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:
