8 Локальная и интегральная теорема лапласа

8.1 Локальная теорема Лапласа

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна

р (0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

где

Таблица функции φ (x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция φ (x) четная, следовательно, φ ( - x) = φ (x)].

8.2 Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых событиях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0<p<1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

Р(k₁ ;k₂ ) = Ф( х") – Ф( х' ),

где

_- функция Лапласа,

Таблица функции Лапласа для положительных значений 0 ≤ х ≤ 5 приведена в приложении 2; для значений x>5 полагают Ф(х) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая что функция Лапласа нечетная [Ф(-х) = - Ф(х)].

Задача 15. Найти вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,5.

Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Лапласа

Вычислим х:

Ф ункция - четная, поэтому φ (-6) = φ (6) = 0

По таблице приложения 1 найдем φ (6) = 0.

Искомая вероятность

Р₂₅₀₀ (1100) = 1/25 ∙0 = 0.

Ответ: Вероятность того, что событие А наступит 1100 раз в 2500 испытаниях, равна нулю.

Задача 16. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,6. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 55 раз и не более 80 раз; б) не менее 55 раз

Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Р(k₁ ;k₂ ) = Ф( х") – Ф( х' ),

где Ф(х) – функция Лапласа,

, .

а) По условию, n = 100; р = 0,6; q = 0,4; k₁ = 55; k₂ = 80. Вычислим x' и х":

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х), получим:

Р₁₀₀ (55; 80) = Ф(4,08) – Ф(- 1,02) = Ф(4,08) + Ф(1,02).

По таблице приложения 2 найдем

Ф(4,08) = 0,4999; Ф(1,02) = 0,3461.

Искомая вероятность

Р₁₀₀ (55; 80) = 0,4999 + 0,3461 = 0,846.

б) Требование, чтобы событие появилось не менее 55 раз, означает, что число появлений события может быть равно 55, либо 56, …, либо 100. Таким образом, в рассматриваемом случае следует принять k₁ = 55, k₂ = 100. Тогда,

По таблице приложения 2 найдем Ф; Ф(8,17) = 0,5.

Искомая вероятность

Р₁₀₀ (55; 80) = Ф(8,17) – Ф(- 1,02) = 0,5 + 0,3461 = 0,8461.

Ответ: а) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз и не более 80 раз, равна 0,846;

б) Вероятность того, что событие появится не менее 55 раз, равна 0,8461.

9. Вероятность отклонения относительной частоты от теоретической вероятности

Вероятность того, что в n независимых испытаниях отклонение относительной частоты появления некоторого события A от вероятности его появления p по абсолютной величине не больше заданного числа ε>0, т.е. вероятность осуществления неравенства:

, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при Х= .

P = 2Φ .

Задача 17. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Решение. По условию n=625; p=0,8; q=0,2; ε=0,04. Требуется найти вероятность P . Воспользуемся формулой

P = 2Φ .

Имеем:

P =2Φ =2Φ(2,5).

По таблице приложения 2 найдем Φ(2,5)=0,4938. Следовательно, 2Φ(2,5)= 2•0,4938=0,9876. Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.