6.Формула бейеса

Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) Н₁, Н₂, … Н_n, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Бейеса:

Р (Н_i /А) ₌ Р (Н₁) · Р (А/Н₁) ( i=1,2,…, n),

Р (А)

где Р (А) – формула полной вероятности.

Задача 12. Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,2; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,3. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица.

Решение. Обозначим через А событие – обнаружена ошибка в перфокарте. Можно сделать два предположения (гипотезы).

Н₁ – набивала перфокарты перфораторщица №1

Н₂ – набивала перфокарты перфораторщица №2. Поскольку имеется две гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице

Р(Н₁) = Р(Н₂) = ½, то ( Р(Н₁) + Р(Н₂) = 1 )

Условная вероятность того, что первая перфораторщица допустила ошибку :

Р (А/Н₁) =0,2 , а вторая – Р (А/Н₂) = 0,3.

Вероятность, что при сверке перфокарт была допущена ошибка, находим по формуле полной вероятности:

Р (А) =Р (Н₁) ∙ Р (А /Н₁ + Р (Н₂ ) ∙ Р (А /Н₂ ) = 1/2· 0,2+ 1/2 · 0,3 = 0,25.

Искомая вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщица, по формуле Бейеса равна:

Р (Н₂ /А) ₌ Р (Н₂) · Р (А/Н₂) ₌ 0,15 ₌ 3 .

Р (А) 0,25 5

Ответ: Вероятность того, что ошиблась вторая перфораторщика равна 3/5.

7. Формула бернулли

7.1. Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом из них не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.

7.2 Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0<р<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна

Р_n (k) = C ^k_n p^k q^{n - k},

или

,

где q = 1 – p.

7.3 Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, находят соответственно по формулам:

а) Р_n (0) + Р_n (1) + … + Р_n (k - 1);

б) Р_n (k + 1) + Р_n (k + 2) + … + Р_n (n);

в) Р_n (k) + Р_n (k + 1) + … + Р_n (n);

г) Р_n (0) + Р_n (1) + … + Р_n (k).

Задача 13. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет:

а) ровно два раза;

б) менее двух раз;

в) не менее двух раз.

Решение. Вероятность того, что выпадет “герб” р = 0.5, не “герб” 0,5( q = 1 – 0,5 = 0.5). Монету бросают пять раз, значит, n = 5.

Применим формулу Бернулли:

а) найдем вероятность того, что «герб» выпадает два раза при пяти бросаниях монеты:

;

б) найдем вероятность того, что «герб» выпадает менее двух раз при пяти бросаниях монеты:

P₅(k<2) = P₅(0) + P₅(1) = ;

в) найдем вероятность того, что «герб» выпадает не менее двух раз. События «герб» выпадает менее двух раз и «герб» выпадает не менее двух раз противоположны:

Р₅ (k ≥ 2) ₌ 1 - P₅ (k <2) = 1 – 3/16 = 13/16.

Ответ: Вероятность, что герб выпадает ровно два раза - 5/16, менее двух раз - 3/16, не менее двух раз - 13/16.

Задача 14. Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах.

Решение. По формуле появления хотя бы одного события имеем:

Р = 1 – q² = 0.84, q² = 0,16, q = 0,4, р = 1 – q = 0,6.

Искомая вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах по формуле Бернулли равна:

.

Ответ: Вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах

равна 162

625. .