4.Вероятность появления хотя бы одного события
Пусть события А1 , А2 , …, Аn независимы в совокупности, причем вероятности Р (А1)=р1 , Р (А2)=р2 , … , Р (Аn)=рn ; пусть в результате испытания могут наступить все события, либо часть из них, либо ни одно из них.
Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий
А1 , А2 , …, Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий А1 , А2 , …, Аn:
Р(А)=1 - q1 q2 … qn .
В частности, если все n событий имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий
Р(А)=1 – qn ( * ).
Задача 9. Вероятность попадания стрелком в мишень при одном выстреле 0,6. Найти вероятность того, что мишень будет поражена хотя бы один раз при трех выстрелах.
Решение. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна р = 0,6, а q = 1-0,6= 0,4.
Выстрела было произведено 3, т.е n = 3 .
Искомая вероятность равна:
Р (А) = 1 – q3 = 1 – (0,4)3 = 1 – 0,064 = 0,936.
Ответ: Вероятность того, что мишень поражена хотя бы один раз при трех выстрелах равна 0,936.
Задача 10. Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при четырех выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания при одном выстреле.
Решение. Вероятность попадания в мишень хотя бы при одном из четырех выстрелов (событие А) равна
Р (А) = 1 – q4,
где q – вероятность промаха.
По условию Р (А) = 0,9984.
Следовательно, 0,9984 = 1 - q4 , или q4 = 1 – 0,9984 = 0,016.
О
тсюда
q = 4√0,0016 = 0,2.
Искомая вероятность
р = 1 – q = 1 – 0,2 = 0,8.
Ответ: Вероятность попадания в мишень при одном выстреле
равна 0,8.
5.Формула полной вероятности
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) Н1 , Н2 , …, Нn , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А :
Р (А) =Р (Н1 ) ∙ Р (А /Н1 ) + Р (Н2 ) ∙ Р (А /Н2 ) + … + Р(Нn) ∙ Р (А /Нn ) (* ),
где Р (Н1 ) + Р (Н2 ) + … + Р(Нn ) = 1.
Равенство (**) называют формулой полной вероятности.
Задача 11. В каждой из двух урн содержится по 5 черных и 3 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны окажется черным.
Решение. Урна1 Урна2
8 Шаров 9 шаров
Переложим 1 шар
Проанализируем условие задачи, если из урны 1 переложим белый или черный шар в урну 2 (см. схему).
Запишем условие задачи в схеме.
Урна №1
5(Б) |
3(Ч) |
|
|
8
шаров
Урна №2 Урна №2
Обозначим через А событие – извлеченный из второй урны шар окажется черным. Возможны следующие предположения (гипотезы):
Н1 – из I урны вынут белый шар, Р (Н1) = 5/8;
Н2 - из I урны вынут черный шар, Р (Н2 ) = 3/8 (P (Н1 )+ (Н2)=1).
Условная вероятность того, что извлеченный из II урны шар черный при условии, что белый шар из I урны переложен во вторую, Р (А/Н1) = 3/ 9.
Условная вероятность того, что извлеченный из II урны шар белый при условии, что черный шар из I урны переложен во вторую,
Р (А/Н1) = 4/ 9.
Искомая вероятность того, что извлеченный из второй урны, шар окажется черным по формуле полной вероятности:
Р (А) =Р (Н1 ) ∙ Р (А /Н1 ) + Р (Н2 ) ∙ Р (А /Н2 ) = 5/8· 3/ 9 + 3/8· 4/9= =27/ 72= 3/8
Ответ: Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны окажется черным равна 3/8.