3. Теоремы сложения и умножения вероятностей

3.1. Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий,т.е. событие С состоит в появлении хотя бы одного из событий А и В.

3.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А+В)=Р (А)+Р (В).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А₁ + А₂ +…+А_n)= Р (А₁)+Р (А₂)+…+Р(А_n).

3.3. Сумма вероятностей событий А₁ , А₂ ,…, А_n , образующих полную группу, равна единице: Р (А₁ ) + Р (А₂ ) + … + Р(А_n ) = 1.

3.4. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(А) = 1.

3.5. Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении этих событий.

3.6. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

3.7. Условной вероятностью Р_А (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

3.8. Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р (АВ) = Р(А)·Р (В/А) или Р (АВ) = Р(А)· Р_А (В).

В частности, для независимых событий

Р (АВ) = Р (А)·Р (В),

т.е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению этих событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляют в предположении, что все предыдущие события уже наступили:

Р (А₁ А₂ А₃ … А_n) = Р (А₁ ) · Р_А1 (А₂ ) · Р_А1А2 (А₃ ) … Р _А1А2 …_{А n-1} (А_n ),

где Р _А1А2 …_{А n-1} (А_n ) – вероятность события А_n , вычисленная в предположении, что события А_1, А_2, …, А_n-1 наступили.

В частности, вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Р (А₁ А₂ … А_n ) = Р (А₁ ) · Р (А₂ ) … Р (А_n ).

3.9. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р (А+В) = Р (А) + Р(В) - Р(АВ).

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий

Р (А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС).

Задача 5. В урне содержатся 30 шаров: 5 синих, 15 белых и 10 красных. Найти вероятность извлечения цветного шара.

Решение. Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего.

Вероятность появления синего (событие А): Р(А) = 5/30 = 1/6;

Вероятность появления красного шара (событие В): Р(В) = 10/30 =1/3.

Событие А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому искомая вероятность Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 1/6 + 1/3 = 1/2.

Ответ: Вероятность извлечения цветного шара равна 1/2.

Задача 6. В первом ящике 2 детали нестандартные и 10 стандартных. Во втором ящике 8 нестандартных и 4 стандартных. Из каждого ящика вынули по детали. Какова вероятность, что обе детали не стандартные?

Решение. Пусть событие А – появление нестандартной детали из первого ящика.

Событие В – появление нестандартной детали со второго ящика. События А и В – независимые.

Имеем: _{Р(А) =} 2 ₌ 1 ; _{Р(В) =} 8 ₌ 2

12 6 12 3 .

Для независимых событий вероятность их совмещения равна произведению их вероятностей:

_{Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В) =} 1 _∙ 2 ₌ 1_

6 3 9 .

Ответ: Искомая вероятность равна 1/9.

Задача 7. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,6, для второго и третьего стрелков эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что: 1) только один из стрелков поразит цель; 2) только два стрелка поразят цель; 3) все три стрелка поразят цель.

Решение. События А_1, А_2, А₃ - попадания соственно 1,

2 и 3 стрелков. Тогда Р(А₁) = 0,6; Р(А₂) = 0,7 ; Р(А₃) = 0,8.

События А_1, А_2, А₃ - промахи соответственно 1, 2 и 3 стрелков.

Р(А₁) = 1-0,6=0,4 ; Р(А₂) = 1-0,7=0,3 ; Р(А₃) = 1-0,8=0,2.

1 ) Событие А - только один из стрелков поразит цель - есть сумма несовместных событий: А₁А₂ А₃ , А₁ А₂А₃ и А₁А₂А₃,

т.е А = А₁А₂ А₃ + А₁А₂ А₃ + А₁А₂ А_{3 .}

Применив теоремы сложения и умножения, получим:

Р(А) = Р(А₁А₂ А₃ ) + Р(А₁А₂ А₃ ) + Р(А₁А₂ А₃ ) =

= Р(А₁ ) · Р(А₂ ) · Р(А₃) + Р(А₁ ) ·Р(А₂ ) · Р(А₃) + Р(А₁ ) · Р(А₂ ) · Р(А₃)=

= 0,6 ∙ 0,3 ∙ 0,2 + 0,4 ∙ 0,7 ∙ 0,2 + 0,8 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,178.

2. Событие В – только два стрелка поразят цель.

Р (В) = Р(А₁ ) · Р(А₂ ) · Р(А₃) + Р(А₁ ) · Р(А₂ ) · Р(А₃) + Р(А₁ ) · Р(А₂ ) · Р(А₃) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,2 + 0,4∙0,7∙0,8 + 0,6∙0,3∙0,8 = 0,452.

2. Событие С – все три стрелка поразят цель.

Р(С) = Р(А₁ ) · Р(А₂ ) · Р(А₃) = 0,6 ∙ 0,7 ∙ 0,8 = 0,336.

Ответ: Вероятность поражения цели одним стрелком равна 0,178; двумя стрелами – 0,452; тремя - 0,336.

Задача 8. Студент знает 30 из 60 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиxся в его экзаменационном билете.

Решение. Введем обозначение событий:

А – студент знает первый вопрос в билете,

В – студент знает второй вопрос в билете.

Вероятность того, что студент знает первый вопрос в билете

Р (А) ₌ 30 ₌ 1

60 2 .

Вероятность того, что студент знает второй вопрос, при условии, что он ответил на первый

Р(В/А) ₌ 30-1 ₌ 29

1. 59 .

Искомая вероятность того, что студент знает 2 вопроса в его экзаменационном билете, равна:

Р(АВ) = Р(А) · Р(В/А) ₌ 1 _· 29 ₌ 29

2 59 118 .

Ответ: Вероятность того, что студент знает 2 вопроса в его экзаменационном билете, равна 29

118 .