2. Основные понятия теории вероятностей

2.1. Опыт (испытание, эксперимент) – это наблюдение какого-нибудь явления при выполнении некоторого комплекса условий.

2.2. Событие – результат (исход) опыта.

События обозначают: А, В, С.

Например: выстрел, произведенный из орудия по цели – испытание. Попадание в цель или промах – событие.

2.3. Возможные исключающие друг друга исходы (события) опыта называются его элементарными исходами (событиями). Множество всех элементарных событий, связанных с данным опытом, называется пространством элементарных событий. Каждое событие есть множество элементарных событий.

2.4. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного опыта.

Например: Загорание лампочки при отсутствии тока в электрической цепи.

2.5. Событие называется достоверным, если оно в результате опыта обязательно произойдет.

Например, смена дня и ночи.

2.6. Случайным называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Например, выигрыш в лотерее.

2.7. События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Например, промах и попадание в цель при одном выстреле.

2.8. Два события называются совместными, если в результате опыта они могут появится одновременно.

Например, промах и попадание при двух выстрелах.

2.9. Если среди группы событий А_1, А_2… А_n если хотя бы два совместных, то все эти события называются совместными.

2.10. Группа событий называется полной, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них.

Например: Передается два сигнала.

Событие А₁ – принят один сигнал.

Событие А₂ – принято два сигнала.

Событие А₃ – сигналы не приняты, т.е. принято ноль сигналов.

События А_1, А_2, А₃ – образуют полную группу событий.

2.11. Два несовместных события, образующих полную группу ,называются противоположными. Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать через А.

Например, попадание и промах при одном выстреле.

2.12. События называются равновозможными, если одинакова возможность появления их в результате опыта.

Например, появление герба или цифры при бросании монеты.

2.13. Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность события А обозначают через Р(А). Пусть m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания, тогда вероятность события А определяется формулой:

_{Р(А) =} _m_

n .

2.14. Из определения вероятности вытекают следующие свойства:

• вероятность достоверного события равна единице;

• вероятность невозможного события равна нулю;

• вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей, т.е. вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

0 ≤ Р(А) ≤ 1.

2.15. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний. Таким образом, относительная частота события А определяется формулой:

W(A)=m/n,

где m – число появлений события, n – общее число испытаний.

Проиллюстрируем вышеизложенное решением задач.

Задача 1. В урне 5 черных и 3 белых шара. Найти вероятность того, что вынут белый шар.

Решение. Пусть событие А – извлечение из урны белого шара.

Всех возможных исходов (случаев) опыта: n = 5 + 3 = 8.

Случаев, благоприятствующих выборке одного белого шара: m = 3.

Следовательно, _{Р(А) =} _m_ ₌ _3_ _.

n 8

Ответ: Вероятность того, что из урны вынут белый шар равна 3/8.

Задача 2. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобрали 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 6 отличников.

Кратко запишем условие

12

8 отл. 4 нет

9

6 отл. 3

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать 9 студентов из 12, т.е. числу сочетаний из 12 элементов по 9 элементов: С⁹₁₂ Определим число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию А (среди 9 студентов 6 отличников). Надо выбрать 6 студентов отличников из 8 отличников С⁶₈ способами. При этом остальные 9 – 6 = 3 студента не отличники. Выбрать трех студентов неотличников из 12 – 8 = 4 можно С³₄ способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно С⁶₈ ∙ С³_4. Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

_{Р(А) =} С⁶₈ ∙ С³_{4 =} 8!∙4!∙9!∙(12 - 9)! ₌ 56 ₌ 28

С⁹₁₂ 6!∙3!∙(4 - 3)!∙12! 110 55 .

Ответ: Вероятность того, что среди отобранных 9 студентов 6 отличников равна 28/55.

Задача 3. На каждой из пяти карточек напечатана одна из следующих букв; о, н, р, т, с. Карточки тщательно перемешиваются и из них извлекаются по очереди четыре карточки. Найти вероятность того, что карточки в порядке выхода составят слово «трос».

Ответ: искомая вероятность.

Задача 4. Монета бросается 20 раз. “Герб” выпал 18 раз. Какова относительная частота выпадания “герба”?

Решение. Относительная частота выпадения “орла” равна:

_{W =} _m_ , где m = 18; n = 20.

n

Тогда, W = 18/20 = 0,9.

Ответ: Относительная частота выпадания “орла” равна 0,9.