12.2 Интегральные оценки

Интегральной называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

Доверительным называют интервал, который с заданной надежностью у покрывает заданный параметр.

Интервальной оценкой (с надежностью ) математического ожидания нормально распределенного количественного признака X по выборочной средней _в при известном среднем

квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал.

_b - < < b + ,

где - точность оценки, n - объем выборки,

где t - значение аргумента функции Лапласа Ф (t) (см. приложение 1), где Ф (t) = .

Задача 24. Заданы среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины X, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания с заданной надежностью = 0,95.

= 3, = 18,21, n = 100.

Решение. Воспользуемся формулой ,тогда 0,95 = 2Ф(t),

Ф(t) = 0.475. Найдем t=1,96. Вычислим точность оценки

Найдем доверительный интервал для оценки известного математического ожидания а с заданной надежностью =0,59:

18,21-0,59 < < 18,21+0,59;

17,62 < < 18,80.

Ответ:

(17,62;18,80).

13. Задачи для контрольных работ.

Студент должен выполнять контрольные работы по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера зачётной книжки (шифра).

Варианты	Номера заданий
1-10	1.1	1.2	1.3	1.4	2.1	2.2

Контрольная работа состоит из двух заданий. Решения типовых заданий 1.1, 1.2, 1.3 показаны в пункте 18, а образцами выполнения заданий 1.4, 2, 3 соответственно являются: задача 21 – 1.4, задача 23 – 2.1, задача 24 – 2.2.

При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. В начале работы должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, шифр, номер контрольной работы.

2. Контрольная работа выполняется в тетради, а не на листах, обязательно чернилами, с полями для замечаний преподавателя.

3. Решения задач контрольной работы располагаются в порядке номеров, указанных в контрольной работе. Перед решением задачи должно быть полностью записано её условие, исходя из данных своего варианта задания. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, переписывая условие задачи, следует заменить общие данные конкретными из своего варианта.

4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов.

Контрольные работы, выполненные студентом с нарушением изложенных правил или не по своему варианту, не зачитываются и возвращаются без проверки.

Получив прорецензированную работу, студент должен исправить в ней все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, то в короткий срок либо должна быть выполнена заново, либо должны быть решены задачи, указанные рецензентом.

Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной.

Зачтенные контрольные работы следует предъявить преподавателю на экзамене.

Задание 1.

1. В партии из N изделий n из них имеют скрытый дефект (табл. 2). Какова вероятность того, что из взятых наугад m изделий k изделий являются дефектными?

2. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: n₁ c первого завода, n₂ со второго, n₃ с третьего (табл. 3). Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе p₁, на втором p₂, на третьем p₃. Какова вероятность того, что взятое случайным образом изделие будет качественным?

3. В городе имеются N оптовых баз (табл. 4). Вероятность того, что товар требуемого сорта отсутствует на этих базах, одинакова и равна p. Составить закон распределения числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент. Построить многоугольник распределения. Найти дисперсию и среднеквадратичное отклонение числа баз, на которых искомый товар отсутствует в данный момент.

4. Непрерывная случайная величина имеет нормальное распределение. Ее математическое ожидание равно a, среднее квадратичное отклонение равно σ (табл. 5). Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина примет значение в интервале (α, β).

Задание 2.

2.1. Найти несмещённую оценку дисперсии случайной величины Х на основании данного распределения выборки (табл.6).

Таблица 6

Вариант	Распределение
1	xi	2	6	8	9
	ni	20	13	12	5
2	xi	10	14	16	22
	ni	13	24	14	9
3	xi	3	6	8	14
	ni	8	14	10	18
4	xi	0,2	0,3	0,5	0,6
	ni	16	11	10	13
5	xi	15	18	23	24
	ni	13	5	14	8
6	xi	–4	–1	2	8
	ni	16	8	14	12
7	xi	47	50	52	56
	ni	24	16	23	17
8	xi	–6	–2	2	5
	ni	11	13	14	12
9	xi	14	15	18	20
	ni	15	12	11	12
10	xi	–3	–1	5	7
	ni	15	11	25	19

2.2. Заданы среднее квадратическое отклонение σ нормано-распределенной случайной величины Х, выборочная средняя , объем выборки n. Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного математического ожидания а с заданной надежностью γ=0,95.

1.	σ = 10	= 18,21	n = 16		6.	σ = 10	= 18,71	n = 25
2.	σ = 9	= 18,31	n = 49		7.	σ = 9	= 18,81	n = 16
3.	σ = 8	= 18,41	n = 36		8.	σ = 8	= 18,91	n = 49
4.	σ = 7	= 18,51	n=100		9.	σ = 7	= 20,01	n = 36
5.	σ = 6	= 18,61	n = 81		10.	σ = 6	= 20,11	n = 64