7.1.5 Конечная потенциальная яма. Резонансы.

Рассмотрим потенциал

(67)

Где .

Рассмотрим 3 случая

(а) (b) (с)

Кратко эти случаи, как мы выяснили, характеризуются следующим образом:

(а) – Дискретный спектр и связанные состояния (то есть движение частицы возможно только при некоторых определенных дискретных значениях энергии, и частица всегда остается в конечной области – иначе говоря, вероятность найти частицу на ∞ равна 0)

(b) Непрерывный невырожденный спектр (то есть каждому значению соответствует единственное допустимое решение, то есть собственная функция). Отражение волны, приходящей из ±∞ в точке в непрерывный вырожденный спектр.

(с) Отражение и прохождение волн.

Прежде чем говорить обо всем этом подробнее, обсудим классические движения в случаях (а), (b), (с), рассуждая как и в п.7.1.2. Так как область возможных движений определяется неравенством ,(см (35)), то мы получаем следующее:

В случае (а) движение возможно в области b < x < a с постоянной скоростью . Частица движется, попеременно отражаясь ( упруго ) от точек b и a. Движение периодическое с периодом

В случае (b) движение возможно в области b < x с постоянной скоростью при b < x < a и с постоянной скоростью при a < x. Частица движется, сменяя скорость в точке a на другую (из двух: или ) того же знака и отражаясь от точки b абсолютно упруго при приходе в нее справа.

В случае (с) движение возможно в области -∞< x < +∞ с постоянными скоростями , соответственно в областях a < x, b < x < a и x < b. Частица движется слева направо, сменяя скорость на очередное значение (и с тем же знаком) в точках a и b разрыва потенциала.

Теперь перейдем к случаям (а), (b), (с) с точки зрения квантовой механики.

Случай (а). Общее решение во внешних областях x < b и x > a представляется линейной комбинацией экспонент с вещественными показателями, а во внутренней области b < x < a оно представляется гармоническими колебаниями. Чтобы быть допустимым решением (собственной функцией) решение должно содержать только затухающие во внешних областях слагаемые. Кроме того, как мы выяснили во вводной части п.7, достаточно рассматривать вещественные допустимые решения ( собственные функции ).

В силу всего этого мы можем считать, что допустимые решения уравнения (5) в рассмотренном случае имеют вид:

(68)

Причем так как (иначе по непрерывности ), то можно положить (ведь ищется с точностью до произвольного множителя ). Из условий непрерывности и в точках а, b получаем:

(69)

(70)

Приравнивая выражения для , найденные из (69) и (70) и делая то же для получаем:

(71)

Приравнивая выражение для из этих двух равенств получаем:

(72)

Введем обозначения:

(73)

И равенство (72) перепишем как уравнение относительно :

(74)

Качественно его решение получаем графически, полагая там для определенности:

(75)

Анализируя полученный результат, делаем следующие заключения:

1. Когда ε растет от до , величина растет от 0 до 1.

2. Для того, чтобы кривая (с) имела пересечение с н. и д. чтобы

Если – пересечений нет

Если – имеется одно пересечение, то есть одно собственное значение ( основной собственное значение )

Если – имеется 2 пересечения, то есть 2 собственных значения и т.д.

Таким образом, собственные значения (если они есть) образуют дискретную конечную и возрастающую (если их больше одного) последовательность - от основного собственного значения до максимального собственного значения, соответствующего максимальному n, удовлетворяющему неравенство .

3. Упражнение. Число узлов собственной функции , соответствующей собственному значению равно n – 1, то есть имеет n -1 ноль при x из промежутка (b,a).

Суммируя обсуждения случая (а), помимо квантования энергии , невырожденности дискретного спектра и связанности состояний частицы, отметим важное отличие квантовой “частицы” от классической: так как волновая функция отлична от нуля во внешних областях x < b и x > a, то существует вероятность “найти” частицу в этих областях.

Случай (b). Рассуждая аналогично случаю (а) в задаче о скачке потенциала, получаем следующее. Каждому значению соответствует единственное ограниченное решение – то, которое экспоненциально затухает при . Решение поэтому можем искать в виде

(76)

Используя условия непрерывности и в точках a, b можно найти . В частности, оказывается, что

(77)

Для упрощения формул из выделения наиболее характерного в рассматриваемом случае, положим

(78)

И будем полагать, что

(79)

Что дает

, (80)

Последнее допущение означает, что в области x < b движение должно происходить как в случае с бесконечным потенциальным барьером, то есть в (76) мы можем положить B = 0.

Используя все это, получаем следующие выражения для интересующих нас далее величин и :

(81)

Для графического изображения этих зависимостей примем для определенности KL = 100:

Отметим, что

(82)

с ростом энергии фазы растет (не убывает), а величина колеблется между и 1. Это колебательное поведение тем больше характерно, чем меньше η и больше KL, поэтому мы и рассматриваем и обсуждаем далее

, (83)

В этом случае как функция (а значит и как функция энергии ) имеет серию острых максимумов ширины (по оси ), отстоящих друг от друга на .

Мы видим, что в рассматриваемом случае квантовая частица проявляет резонансное поведение, характерное, как мы знаем, для волновых процессов при определенных условиях.

Явление резонанса в поведении квантовой частицы в области проявляется следующим образом. Для некоторых ограниченных областей изменения энергии интенсивность волны – частицы имеет порядок 1, причем это соответствует значениям , то есть содержит n+1/2 полуволн. Интенсивность вне этих областей при мала.

Теперь обсудим, чем отличается в рассматриваемом случае движения классической частицы и соответствующего волнового пакета. Действуя как при рассмотрении скачка потенциала (см. п. 7.1.2.), то есть рассматривая волновой пакет вида (38), можно установить, что центр волнового пакета в области x>0 движется как классическая частица, а основное отличие в движении частицы и пакета заключается во времени их нахождения в области .

Обозначим это время символами и соответственно. Оказывается, что поведение пакета при значениях энергии в резонансе и между резонансами различно и характеризуется следующей таблицей:

В резонансе				1
Между резонансами

Если имеет значение между резонансными, то величина мала (= ) и отношение также мало (= ), и это означает, что волновой пакет практически не проникает в область , а отражается от точки (здесь очевидна аналогия с оптикой, где резкое значительное изменение показателя преломления ( при некоторых исключениях) вызывает полное отражение). В противоположность этому, если имеет резонансное значение, то и , а это означает, что волновой пакет полностью проходит в область и остается там значительно дольше, чем классическая частица.

Случай (с). Он аналогичен случаю (б) в задаче со скачком потенциала. При спектр собственных значений непрерывен и собственные значения дважды вырождены (т.е. каждому собственному значению соответствуют две линейно независимые собственные функции). Собственные функции ищем ( по аналогии с упомянутым случаем (б) ) в виде

(84)

Постоянные R, Q, P, S определяется из условий непрерывности и в точках a, b. Аналогично (73), (78) положим

(85)

Кроме того, ради удобства будем использовать обозначение (наряду с ) для волнового пакета (38). Для того, чтобы перейти к сравнительному описанию движения волнового пакета нам потребуются выражения для R и S.

Вот они (получите в качестве упражнения все постоянные R,Q,P,S):

(86)

Волновой пакет движется из с постоянной скоростью и в области он разделяется на «отражённый» пакет , перемещающийся в области в обратном направлении с той же скоростью , и «проходящий» пакет , перемещающийся в области в том же направлении (то есть к со скоростью .

Итак, в отличие от классической частицы, волновой пакет всегда только частично проходит в область , поэтому как и в случае скачка потенциала здесь можно рассмотреть коэффициент прохождения (см.(54),(55) )

(87)

Величины

и (88)

аналогичные (54) также означают вероятность найти частицу в прошедшей и отражённой волнах соответственно ,причём сумма этих вероятностей очевидно =1.