7.1.3 Бесконечно высокий потенциальный барьер

Рассмотрим скачок потенциала предыдущего пункта в предельном случае

(56)

Мы оказываемся в рамках случая (а), то есть .

Из формул (23), (24) следует, что

(57)

и тогда решение (20) уравнения (5) имеет вид:

(58)

Движение классической частицы возможно (как и в случае ) только при и совпадает с движением классической частицы в общем случае (а) (при ). Так как , то согласно (43), (44) движение волнового пакета (42) повторяет движение классической частицы в отличие от общего случая (а) (при ), в котором отраженная волна имеет запаздывание .

В качестве важного обстоятельства отметим, что согласно (58) всякое допустимое решение уравнения (5) равно 0 при .

Упражнение. И в случае потенциала

, (59)

где кусочно-непрерывна, решение уравнения (5) обращается в 0 при (то есть на границе барьера).

7.1.4 Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр.

Рассмотрим потенциал

Область возможных движений классической частицы есть , где .

Из интеграла энергии

(60)

следует, что при любом классическая частица движется с постоянной скоростью , попеременно отражаясь (абсолютно упруго) от точек .

(Движение периодическое с периодом .)

В силу результатов предыдущего пункта, задача о собственных значениях (то есть задача о нахождении допустимых решений стационарных уравнений Шредингера) сводится здесь к нахождению функций , обращающихся в 0 в точках и удовлетворяющих уравнению Шредингера

(61)

При

Таким образом, для нахождения допустимых решений, мы должны из общего решения

, (62)

уравнения (61) выделить те, которые удовлетворяют условиям

(63)

То есть мы должны найти такие одновременно, которые удовлетворяют (63). Для того, чтобы существовало ненулевое решение системы (63) необходимо, чтобы

(64)

Это дает:

, (65)

Каждому из соответствует одна и только одна собственная функция

(66)

Некоторые выводы.

1. В отличие от классической частицы, в квантовой механике (в этой задаче) движение частицы возможно только при некоторых определенных дискретных значениях энергии, то есть энергия частицы квантуется.

2. Допустимые решения (собственные функции ) обладают свойствами четности – нечетности, что связано ( как будет показано в дальнейшем при рассмотрении случая общего потенциала ) с четностью .

3. Если собственная функция, соответствующая , то имеет n -1 узел на . (Узел – это ноль функции ).

Иначе говоря, функция основного состояния (невозбужденного – с min ε) не имеет узлов, имеет 1 узел, функция n-го по счету возбужденного состояния имеет n узлов.