7.1.1. Об интерпретации движения частицы как волнового пакета

Допустимые решения волнового уравнения в виде волновых пакетов важны тем, что (согласно Де Бройлю) они дают интерпретацию перемещения частицы в потенциальном поле в виде волны как аналог перемещения классической частицы по траектории.

Коль скоро волновой пакет – это аналог частицы, то естественно задаться вопросом, как связаны характеристики волнового пакета в момент t с состоянием частицы в этот момент (т.е. с ее положением и скоростью).

Ответ есть и простой. Центр пакета естественно связать с положением частицы по самой идее пакета, а групповая скорость пакета должна быть равна скорости частицы, если принять аналогии и следующие из них формулы Де Бройля из п.6.1. Действительно, согласно этим аналогиям частице, движущейся во внешнем поле с потенциалом -П сопоставляется волна (пакет волн в рассматриваемом сейчас вопросе) с длинной волны

(7)

(см. ф.(9) п.6.1). Поэтому используя формулу Рэлея (см.ф.(32), п.5.2) и квантовую гипотезу получаем :

(8)

В п.5.2. мы рассмотрели волновой пакет (20). Далее нам будет удобно иметь дело с волновыми пакетами , образованными суперпозицией монохроматических волн вида

, (9)

при близких значениях , а именно

(10)

где

(11)

- достаточно гладкая функция, а ее амплитуда A обладает заметной величиной только в некоторой окрестности точки размера . Фаза подынтегрального выражения в (10) есть

(12)

Упражнение. Центр пакета (точка максимума амплитуды) имеет координаты

(13)

и движется со скоростью

(групповая скорость пакета) (14)

(А.М. стр. 60 т.1)

7.1.2. Скачок потенциала. Отражение и прохождение волн.

Рассмотрим задачу с потенциалом

(15)

и пусть, для определенности

(16)

Рассмотрим два случая

(а) (б)

Случай (а):

Уравнение (5) запишем в виде

(17)

при и

(18)

при . Здесь использованы обозначения:

, (19)

Решая (17) и (18) получаем:

(20)

(21)

В этих формулах уже учтено условие, что и должны быть ограничены на .

Из условия непрерывности и в точке разрыва потенциала (т.е. при ) получаем:

, (22)

откуда приходим к формулам:

, , (23)

(24)

Таким образом, мы показали, что каждое значение энергии из промежутка (при ) является собственным значением (то есть спектр непрерывен), и каждому собственному значению соответствует (с точностью до постоянного множителя) одна собственная функция. Иначе говоря, в принятых в начале п.7 терминах, спектр собственных значений уравнения Шредингера (5) в случае (а) является непрерывным и невырожденным.

Случай (б)

Уравнение (5) запишем в виде:

(25)

при и

(26)

при . Использованные обозначения:

, (27)

Решая эти уравнения получаем

(28)

(29)

Любое решение с и непрерывными в точке разрыва (т.е. при ) удовлетворяет условию ограниченности и на , то есть любое такое решение является допустимым.

Записывая условия непрерывности и при , то есть

, (30)

,

видим, что они определяют двухпараметрическое семейство допустимых решений. Например, если в качестве параметров выбрать , то выразятся через них однозначно.

Эти допустимые решения представимы в виде линейной комбинации двух линейно независимых допустимых решений. Выпишем одно из таких решений, полагая

, (31)

Тогда обозначая , получаем

(32)

Где

, (33)

Комплексно сопряженная функция линейно независима с , так что любая собственная функция, отвечающая собственному значению в случае (б) может быть записана в виде

(34)

Таким образом, мы показали, что каждое значение энергии из промежутка является собственным значением (т.е. спектр непрерывен) и каждому собственному значению соответствуют две линейно независимые функции (с точностью до постоянных множителей). Иначе говоря, спектр собственных значений уравнения Шредингера (5) в случае (б) является непрерывным и двукратно вырожденным.

Далее мы хотим сравнить движение классической частицы в поле с потенциалом (15) в случаях (а) и (б) с движением волновых пакетов, построенных по только что рассмотренным допустимым решениям стационарного уравнения Шредингера.

Вначале рассмотрим классические движения.

Частица движется с постоянной энергией в поле с потенциалом (см. (4)), поэтому из интеграла энергии получаем

, (35)

то есть область возможных движений определяется неравенством .

В случае (а) движение возможно при с постоянной скоростью

(36)

Из этих двух случаев скорости составляется полная картина движения на временном промежутке , когда частица приходит из со скоростью , отражается мгновенно (упруго) от точки и уходит в с той же скоростью:

В случае (б) движение возможно с постоянной скоростью при и с постоянной скоростью при . Из этих возможностей составляются две полные картины (схемы) движения при .

( ) Частица приходит из со скоростью , при пересечении точки меняет мгновенно скорость на и с этой скоростью уходит на ;

( ) Движение происходит в обратной последовательности, то есть частица приходит из с постоянной скоростью , при пересечении точки x = 0 меняет мгновенно скорость на и с этой скоростью уходит на .

Теперь последовательно для случаев (а), (б) построим допустимые решения нестационарного уравнения Шредингера (1) как волновые пакеты и обсудим движение этих пакетов для сравнения с рассматриваемыми только что движениями классической частицы.

Случай (а). Вместо функций (20) мы используем (только ради удобства) для построения волнового пакета отличающиеся от них множителем функцию

(37)

Значок ε означает, что это собственная функция, отвечающая собственному значению ε.

Рассмотрим волновой пакет

(38)

Где достаточно гладкая действительная функция аргумента , обладающая заметной величиной только в некоторой окрестности точки размера , а связаны между собой также, как . Кроме того предположим ради простоты, что равна 0 при .

По построению, является решением уравнения Шредингера (1), то есть нестационарного уравнения Шредингера. Пользуясь формулами (13), (14) для положения и групповой скорости пакета, получаем следующие результаты.

При x > 0 решение является суперпозицией двух решений:

1 решение – это “ падающий волновой пакет “

(39)

Его центр

, (40)

перемещается со скоростью

(41)

из и достигает точки в момент

2 решение – это “ отраженный волновой пакет ”

(42)

Его центр

, (43)

перемещается со скоростью в противоположном направлении и отправляется из точки в момент

(44)

Таким образом, движение волнового пакета в случае (а) отличается от движения классической частицы запаздыванием τ в момент отражения в точке разрыва потенциала.

Случай (б). Решение (32) вместо будем обозначать , чтобы отметить, что это собственная функция, отвечающая собственному значению ε.

Рассмотрим волновой пакет

(45)

где на наложены ограничения, аналогичные случаю (а).

Как и в случае (а), является решением уравнения Шредингера (1) (по построению). Действуя как и в случае (а), то есть пользуясь формулами (13), (14) для положения и групповой скорости пакета, получаем следующие результаты.

При решение является суперпозицией двух решений, а при мы имеем одно третье по счету решение.

1 решение – это “ падающий волновой пакет “

(46)

Его центр

, (47)

перемещается со скоростью

(48)

из и достигает точки в момент .

2 решение – это “ отраженный волновой пакет ”

(49)

Его центр , (50)

движется со скоростью в противоположном направлении, начиная от при как классическая частица, упруго отразившаяся в этот момент в этой точке.

3 решение – это “ проходящий волновой пакет ”.

(51)

Его центр

, (52)

перемещается со скоростью

(53)

от точки при к .

Таким образом, решения (45) дает нам следующую схему “ движения квантовой частицы ”. Волновой пакет двигаясь из к со скоростью в точке в момент разделяется на 2 волновых пакета – “ проходящий “ , продолжающий движение от к со скоростью , и “отраженный” , движущийся от к со скоростью .

Мы видим, что эта схема “ движения квантовой частицы ” есть аналог схемы движения классической частицы (в рассматриваемом случае (б)) и отличается от нее наличием “ отраженного движения ” пакета .

Замечание: а как получить квантовый аналог схемы ? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, отметим, что в рассматриваемом случае (прямоугольного потенциала) решение уравнения Шредингера однозначно определяется заданием в какой то момент времени “начальных данных” и . Как мы видели, при ( ) решение (45) ассоциируется с пакетом, движущимся из влево как классическая частица в схеме . Для того, чтобы получить квантовый аналог схемы , следует в (45) заменить на , тогда, как несложно будет убедиться, “начальные условия” будут соответствовать схеме .

Для полноты картины отметим без доказательства, что вероятности найти частицу в прошедшей и отраженной волнах равны соответственно

и (54)

Сумма этих вероятностей, разумеется, равна 1 (проверьте).

Величину

(55)

называют коэффициентом прохождения.

При , возрастает к 1, то есть в пределе при больших энергиях квантовая частица ведет себя как классическая частица.