7. Квантовые системы в одном измерении

Одномерные модели важны и сами по себе, и потому, что многие задачи квантовой механики после применения к ним тех или иных методов решения сводятся к ряду аналогичных моделей (уравнений).

Рассмотрим уравнение Шредингера и стационарное уравнение Шредингера для частицы массы m, перемещающейся вдоль оси x в поле скалярного потенциала V(x):

(1)

(2)

где

(3)

Если ввести в рассмотрение функцию U(x) (потенциал) и постоянную (энергия) по формулам

, (4)

то уравнение (2) перейдёт в уравнение

(5)

Это дифференциальное уравнение Штурма-Лиувилля. Мы будем искать его решения в классе ограниченных на функций , имеющих там непрерывные и ограниченные производные (класс допустимых функций). Если – допустимое решение, то , где - постоянная, - также допустимое решение, и мы не будем их различать. Если существуют два линейно независимых допустимых решения, то их линейная комбинация также допустимое решение. В последнем случае говорят, что собственное значение имеет вырождение кратности 2 (порядка 2).

Так как V(x) – вещественная функция, то уравнение (5) вещественно. Действительная и комплексная части собственной функции также собственные функции, причём в случае отсутствия вырождения они отличаются постоянным множителем. Это означает, что для нахождения всех собственных функций, отвечающих данному собственному значению, достаточно найти только действительные собственные функции.

Вначале мы рассмотрим точно решаемую задачу на собственные значения в случае прямоугольных потенциалов, а затем изучим стационарное уравнение для произвольных потенциалов U(x).

7.1 Прямоугольные потенциалы

Исследование уравнения Шредингера (5) с кусочно-постоянными (прямоугольными) потенциалами U(x) естественно по двум основным причинам. Во-первых, в этих случаях уравнение (5) решается и исследуется исчерпывающим образом, так как на каждом интервале постоянства U(x) оно является уравнением с постоянными коэффициентами. Во-вторых, такие уравнения (5) дают типичный набор того или иного поведения квантовых систем.

Общая схема нахождения допустимых решений уравнения Шредингера (5) (если они существуют) с кусочно-постоянным потенциалом, имеющим n разрывов 1 рода (скачков) такова. Уравнение решается на каждом интервале

, , … ,

а затем эти решения

, … ,

(где - произвольные пока постоянные) «сливаются» в одну функцию (решение) так, чтобы в точках разрыва потенциала решение и его производная были непрерывны. Последнее означает, что на налагают 2n условий:

(6)

Чтобы полученная так функция была допустимым решением (т.е. собственной функцией) необходимо еще, чтобы функции были ограниченными, т.к. тогда и только тогда будут ограниченными и на . Из полученных допустимых решений могут быть построены как те или иные их суперпозиции другие допустимые решения и, в частности, волновые пакеты.