1.6 Отсеивающие эксперименты

ПФЭ рекомендуют применять при числе факторов k ≤ 5, поскольку при большем числе факторов быстро возрастает число опытов. При 5 < k < 10 приемлемое число опытов можно получить с помощью планов ДФЭ.

При k ≥ 10 рекомендуется применять отсеивающие эксперименты. Они проводятся в несколько этапов.

На первом этапе проводят ДФЭ со степенью дробления, обеспечивающей получение чисто линейной модели.

Затем проводят ранжирование факторов по степени их влияния на отклик, расставляя их в порядке убывания абсолютных значений соответствующих коэффициентов модели.

Далее выбирают несколько наиболее значимых факторов, находящихся в начале списка, и для них проводят уже более детальное экспериментальное исследование объекта, применяя модели с эффектами взаимодействия факторов или модели более высоких порядков.

1.7 Практическое применение математической модели для оценки свойств объекта

1.7.1 Качественный анализ модели

• Проверяют, остались ли после отбрасывания незначимых составляющих модели эффекты взаимодействия факторов. Если нет – модель линейна.

• Сопоставляют численное значение коэффициента B₀ с остальными коэффициентами. Чем больше значение B₀ , тем меньше чувствительность модели.

• Выстроенный в порядке убывания абсолютных значений ряд линейных коэффициентов ранжирует соответствующие факторы в порядке убывания их влияния на отклик.

• Знаки коэффициентов регрессии указывает на то, в каком направлении влияют изменения соответствующих факторов на отклик.

2. Применение модели для количественной оценки свойств объекта

Для вычисления отклика заданные значения факторов подставляют в модель, предварительно приведя их к относительному виду с помощью формулы кодирования:

,

где: - заданное значение фактора;

- значение этого фактора в центре эксперимента;

- интервал варьирования этого фактора.

Если все кодированные значения заданных значений факторов оказались в диапазоне от минимального до максимального значения факторов в плане – заданная точка находится внутри факторного пространства. В этом случае применение модели для вычислений соответствующего значения отклика называется интерполяцией.

Если кодированное значение хотя бы одного фактора вышло за границы факторного пространства – процедура называется экстраполяцией.

Интерполяция, как правило, всегда корректна, поскольку для оценки свойств объекта в одной из точек факторного пространства используются результаты экспериментальных исследований, проведённых в этой же области.

Достоверность экстраполяции убывает по мере удаления заданной точки от исследованной области.

2. Статистический анализ данных

2.1. Основные понятия и определения

Под статистическим анализом обычно понимают применение методик, характерных для теории вероятностей, для оценки свойств некоторых массивов стохастических данных, т.е. показателей исследуемого объекта, которые формируются под воздействием ряда случайных факторов.

С некоторыми из методик статистики мы уже познакомились в разделе 1, посвящённом организации активных экспериментов, например при выявлении грубых промахов, оценке значимости и адекватности математической модели объекта и т.п. Однако основной областью прикладного применения математической статистики в инженерной практике является обработка результатов пассивных экспериментов и наблюдений за характеристиками объектов и процессов, имеющих случайную составляющую.

Для анализа обычно выбирается какая-то часть данных, поэтому соответствующий массив так и называется – выборка. Пассивным, т.е. не зависящим от наблюдателя характером формирования случайных значений этих данных объясняется и название отдельного элемента выборки – одно наблюдение.

Математической базой статистики является теория вероятностей, применение которой корректно только для однородных и представительных выборок. Однородность обеспечивается тем, что выборка формируется в результате наблюдения за группой однотипных объектов, находящихся в однотипных условиях.

Представительность обеспечивается достаточно большим объёмом выборки.

Обычно выборки, содержащие 50÷100 и более однотипных наблюдений, считаются представительными, и для их анализа могут быть применены обычные методики теории вероятностей.

Выборки, содержащие меньше 50 наблюдений, считаются малыми, а меньше 20 – сверхмалыми, и для них требуются специальные методики. Для выборок, содержащих менее 10 наблюдений, применение статистических приёмов может не дать достоверных оценок.

Одним из типичных примеров применения математической статистики является обработка данных о фактической надёжности оборудования. Сведения о надёжности оборудования нужны для подтверждения качества оборудования и выявления слабых мест в конструкции и технологии изготовления, они представляют интерес и для судовладельцев при формировании программ эксплуатации судна (количества и продолжительности рейсов, сроков и объемов ремонтов, количества запасных частей и т.п.).

Одним из важнейших показателей надежности оборудования является его безотказность. Для оценки этого показателя отделы надёжности и эксплуатации предприятий-разработчиков собирают с флотов данные о сроках работы оборудования до отказа (наработках до отказа).

Массив данных, накопленных в правом столбце можно использовать для оценки статистических характеристик безотказности оборудования.

№	Название судна	Заводской № оборудования	Наработка до отказа Х(час.)
1	Траулер «Победа»	А-12507	3800
2	Траулер «Аскольд»	А-1322	7200
..	……………	……….	……..
90	Траулер «Электрон»	А-1013	6350

Первичную статистическую обработку начинают с ранжирования выборки, т.е. расположения наблюдений в порядке увеличения их значений.

С помощью ранжированной выборки нетрудно определить наименьшую и наибольшую наработку до отказа (нижняя и верхняя граница выборки), разброс наработок (ширинe выборки). Кроме того, можно вычислить:

• среднее значение (час.)

• дисперсию (час.²)

• среднеквадратическое отклонение (час.)

Величина Х_ср. позволяет примерно оценить среднее время работы данного типа оборудования до отказа, а дисперсия и СКО характеризуют разброс фактических наработок относительно среднего значения.

Среднее значение наработки может быть учтено при назначении сроков плановых (регламентных) работ по обслуживанию оборудования (осмотров, ремонтов).

Дисперсия и СКО характеризуют эффективность регламентного обслуживания:

• при малых значениях D и S проведение ремонтов в сроки, соответствующие X_ср. , позволяет предупредить отказы;

• при большом разбросе наработок эффективность регламентного обслуживания снижается, поскольку к моменту назначенного ремонта часть оборудования уже выйдет из строя, а часть будет находиться в достаточно хорошем состоянии, не требующем ремонта.

Однако эти оценки носят весьма приблизительный характер. Для более точной оценки безотказности оборудования и принятия решения о вероятности отказов и аварий во время рейса судна необходимо располагать аналитическим описанием характера распределения значений наработок относительно среднего значения. В математической статистике эта характеристика называется законом распределения случайных чисел.

Закон может быть представлен в двух формах: дифференциальной (она называется плотностью вероятностей) и интегральной (она называется функцией распределения).