
- •Содержание
- •1. Основные принципы теории планирования эксперимента
- •1.1 Основные понятия и определения
- •1.2 Классификация планов
- •1.3 Полный факторный эксперимент
- •1.3.1 Принятие решений перед началом эксперимента
- •1.3.2 Подготовка плана и матрицы эксперимента
- •1.3.3 Проведение эксперимента
- •1.3.4 Первичная статическая обработка результатов
- •1.3.5 Выявление грубых промахов
- •1.3.7 Оценка значимости коэффициентов
- •Проверка адекватности модели
- •1.4 Дробный факторный эксперимент
- •1.5 Планирование второго порядка
- •1.5.1 Область применения
- •1.5.2 Модель второго порядка
- •1.5.3 Выбор типа плана
- •1.5.4 Преобразование матрицы цкп к ортогональному виду
- •1.6 Отсеивающие эксперименты
- •1.7 Практическое применение математической модели для оценки свойств объекта
- •1.7.1 Качественный анализ модели
- •Применение модели для количественной оценки свойств объекта
- •2. Статистический анализ данных
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Плотность вероятностей
- •2.3 Функция распределения
- •2.4 Корреляционный анализ
- •2.5 Регрессионный анализ
- •3. Оптимизация инженерных проектов
- •3.1 Методы проектирования и оптимизации
- •3.2 Пример практического применения методов однофакторной оптимизации
- •3.2.1 Описание объекта оптимизации
- •3.2.2 Цель оптимизации
- •3.2.3 Методика оптимизации
- •Выбор методов оптимизации
- •3.3 Пример практического применения методов многофакторной оптимизации
- •3.3.1 Описание объекта оптимизации
- •3.3.1 Цель оптимизации
- •3.3.2 Методика оптимизации
- •3.3.3 Метод Гаусса-Зайделя
- •3.3.4 Метод Бокса-Уилсона (градиентный метод)
- •3.3.5 Последовательный симплексный метод
- •3.4 Пример многокритериальной оптимизации
- •3.4.1 Описание объекта оптимизации
- •3.4.3 Предпосылки оптимизации
- •3.4.4 Выбор методов оптимизации
- •3.4.5 Решение оптимизационной задачи методом Парето
- •Рекомендуемая литература
3.4 Пример многокритериальной оптимизации
3.4.1 Описание объекта оптимизации
Объект оптимизации – судовая машина, при работе которой возникают резонансные колебания на частотах, соответствующих собственным частотам машины. Машина содержит две одинаковые колеблющиеся массы m, соединённые между собой и с жестким фундаментом с помощью упругих элементов с жесткостями С0 и С1.
Эквивалентная динамическая схема машины показана на рисунке.
-
Собственные частоты:
; 0 < ω1< ω2
Диапазоны изменения конструктивных параметров:
m*<m<m**
3.4.2 Цель оптимизации - выбор значений конструктивных параметров машины, обеспечивающих минимально-возможное значение собственной частоты ω2 и при минимально-возможном значении массы m.
3.4.3 Предпосылки оптимизации
Формула для ω2 свидетельствует о том, что постановка задачи содержит противоречие, т.к. уменьшение массы будет приводить к увеличению второй собственной частоты машины. Из этого следует, что точного математического решения, полностью удовлетворяющего поставленным условиям, эта задача иметь не может, и речь может идти только о поиске обоснованного компромисса между указанными критериями оптимизации с учётом степени их предпочтительности.
3.4.4 Выбор методов оптимизации
3.4.4.1 Метод главного критерия
Один из критериев, наиболее важный с точки зрения проектанта или заказчика, оставляют единственным, подлежащим улучшению, а на остальные накладывают ограничения, например: ω2 → min; m ≤ [m]
Преимущество метода – упрощение алгоритма поиска, поскольку этот подход позволяет применить алгоритмы однопараметрической оптимизации.
Недостаток – сложность выбора главного критерия и назначения допусков для остальных критериев.
3.4.4.2 Метод последовательных уступок
Выполняют ряд последовательных шагов:
На первом шаге выполняют оптимизацию по первому критерию (например ω2 → min) и назначают уступку по этому критерию Δω2 (т.е. допустимое ухудшение этого критерия при последующей оптимизации)
На втором первом шаге выполняют оптимизацию по второму критерию (например m → min) с учетом возможного ухудшения первого критерия, и т.д.
Достоинство метода, по сравнению с предыдущим – некоторое улучшение всех рассматриваемых критериев.
Недостатки – зависимость конечного результата от правильного назначения последовательности оптимизируемых критериев и сложность обоснованного назначения величины уступок.
3.4.4.3 Метод свёртки критериев
В качестве оптимизируемого показателя используется комплексный критерий, отражающий систему предпочтения конструктора (в теории принятия решений такой комплексный критерий называют функцией ценности).
Чаще всего этому комплексному критерию придают форму весовой функции: K = b1K1 + b2K2 ,
где К1, К2 … – частные критерии, выраженные в относительной форме;
b1, b2 – весовые коэффициенты, определяющие важность соответствующих критериев. По условию нормировки их сумма должна равняться 1.
Преимущество метода – комплексный учет всех частных критериев.
Недостаток – субъективный характер выбора значений весовых коэффициентов. В какой-то степени влияние субъективизма снижается за счет применения метода экспертных оценок
Принимая во внимание недостатки методик, рассмотренных в п.п. 3.4.4.1 ÷ 3.4.4.3, выберем для решения поставленной задачи метод Парето, предусматривающий анализ области допустимых состояний объекта.