3.4 Пример многокритериальной оптимизации

3.4.1 Описание объекта оптимизации

Объект оптимизации – судовая машина, при работе которой возникают резонансные колебания на частотах, соответствующих собственным частотам машины. Машина содержит две одинаковые колеблющиеся массы m, соединённые между собой и с жестким фундаментом с помощью упругих элементов с жесткостями С₀ и С_1.

Эквивалентная динамическая схема машины показана на рисунке.

Собственные частоты: ; 0 < ω1< ω2 Диапазоны изменения конструктивных параметров: m*<m<m**

3.4.2 Цель оптимизации - выбор значений конструктивных параметров машины, обеспечивающих минимально-возможное значение собственной частоты ω₂ и при минимально-возможном значении массы m.

3.4.3 Предпосылки оптимизации

Формула для ω₂ свидетельствует о том, что постановка задачи содержит противоречие, т.к. уменьшение массы будет приводить к увеличению второй собственной частоты машины. Из этого следует, что точного математического решения, полностью удовлетворяющего поставленным условиям, эта задача иметь не может, и речь может идти только о поиске обоснованного компромисса между указанными критериями оптимизации с учётом степени их предпочтительности.

3.4.4 Выбор методов оптимизации

3.4.4.1 Метод главного критерия

Один из критериев, наиболее важный с точки зрения проектанта или заказчика, оставляют единственным, подлежащим улучшению, а на остальные накладывают ограничения, например: ω₂ → min; m ≤ [m]

Преимущество метода – упрощение алгоритма поиска, поскольку этот подход позволяет применить алгоритмы однопараметрической оптимизации.

Недостаток – сложность выбора главного критерия и назначения допусков для остальных критериев.

3.4.4.2 Метод последовательных уступок

Выполняют ряд последовательных шагов:

На первом шаге выполняют оптимизацию по первому критерию (например ω₂ → min) и назначают уступку по этому критерию Δω₂ (т.е. допустимое ухудшение этого критерия при последующей оптимизации)

На втором первом шаге выполняют оптимизацию по второму критерию (например m → min) с учетом возможного ухудшения первого критерия, и т.д.

Достоинство метода, по сравнению с предыдущим – некоторое улучшение всех рассматриваемых критериев.

Недостатки – зависимость конечного результата от правильного назначения последовательности оптимизируемых критериев и сложность обоснованного назначения величины уступок.

3.4.4.3 Метод свёртки критериев

В качестве оптимизируемого показателя используется комплексный критерий, отражающий систему предпочтения конструктора (в теории принятия решений такой комплексный критерий называют функцией ценности).

Чаще всего этому комплексному критерию придают форму весовой функции: K = b₁K₁ + b₂K₂ ,

где К₁, К₂ … – частные критерии, выраженные в относительной форме;

b₁, b₂ – весовые коэффициенты, определяющие важность соответствующих критериев. По условию нормировки их сумма должна равняться 1.

Преимущество метода – комплексный учет всех частных критериев.

Недостаток – субъективный характер выбора значений весовых коэффициентов. В какой-то степени влияние субъективизма снижается за счет применения метода экспертных оценок

Принимая во внимание недостатки методик, рассмотренных в п.п. 3.4.4.1 ÷ 3.4.4.3, выберем для решения поставленной задачи метод Парето, предусматривающий анализ области допустимых состояний объекта.